Методология научного познания - [10]

в процессе ее развития между опытом и теорией или между новыми и старыми методами обоснования теорий. Логическое же противоречие возникает вследствие нарушения правил рассуждения и поэтому требует устранения, а не разрешения. Между тем несоответствия или противоречия в развитии науки будут возникать постоянно и каждый раз будут разрешаться, а не устраняться. Сами эти противоречия в разных науках приобретают специфический характер, зависящий от особенностей их предмета, приемов, средств и методов исследования. В этом мы можем убедиться, обратившись к анализу развития абстрактных и эмпирических наук.

2.2. Возникновение проблемы как выражение несоответствия в развитии научного знания

В абстрактных науках, таких, как математика и родственные ей дисциплины, трудности различного рода связаны прежде всего с обнаружением противоречий внутри существующих теорий, несогласованностью отдельных их частей, недостаточной обоснованностью исходных понятий и т. д. Наиболее интересными и фундаментальными проблемами в этом смысле могут быть те из них, которые возникали при обосновании математики и вызывали кризисы ее оснований.

Первая из фундаментальных проблем такого рода была связана с открытием несоизмеримых отрезков, таких, как диагональ и сторона квадрата, отношение которых не может быть выражено рациональным числом. Это открытие породило глубокий кризис не только в математике, но и в философии, так как подрывало основы пифагорейского учения о числах как сущности мира.

Вторая фундаментальная проблема возникла в связи с трудностями, обнаруженными в анализе бесконечно малых, основное содержание которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления. Расходящиеся результаты и противоречия, полученные со временем в анализе, были связаны в первую очередь с неодинаковым пониманием исходного его понятия — понятия бесконечно малого. Нередко бесконечно малая величина приравнивалась нулю, а чаще всего рассматривалась просто как крайне малая конечная величина. Это противоречие создало серьезную трудность и в результате привело к новой проблеме, вызвавшей второй кризис в основаниях математики. Выход из этого кризиса был найден с помощью теории пределов, которая стала рассматривать бесконечно малое как величину, стремящуюся к нулю как к своему пределу. На этом примере можно показать сложную цепь взаимосвязей, определяющих возникновение проблемы, начиная от потребностей техники производства, экспериментального естествознания и заканчивая стандартами логики.

Элементарная математика, которую нередко называют математикой постоянных величин, была не в состоянии математическими методами описывать движение и процессы. Между тем возникающая машинная индустрия Нового времени крайне нуждалась в таких методах, поэтому она и выдвинула проблему создания новой математики переменных величин — анализа бесконечно малых. Впоследствии, когда были обнаружены некоторые дефекты в математическом анализе, возникла чисто логико-математическая проблема обоснования анализа, которая на первом этапе была решена теорией пределов.

На этом возникновение и решение новых проблем не завершилось, хотя в конце XIX в. многим математикам казалось, что с созданием теории множеств математика получила окончательное обоснование. В этой абстрактной теории все математические объекты (числа, геометрические фигуры, функции и т. д.) рассматривались как элементы соответствующих множеств. Многие ученые считали, что в рамках теории множеств математика получила необходимую общность и прочное обоснование. Однако вскоре и в этой теории были обнаружены парадоксы, которые свидетельствовали о том, что фундамент всей классической математики нельзя считать вполне надежным. Поэтому вскоре после этого опять заговорили о кризисе оснований математики, который не преодолен и поныне. Хотя этот кризис не затрагивает те конкретные теории математики, которые больше всего применяются в прикладных науках, тем не менее сложившуюся ситуацию в обосновании математики нельзя считать удовлетворительной.

При ретроспективном анализе истории обоснования математики выясняется, что наиболее фундаментальные ее проблемы возникали в связи с трудностями, которые появлялись по мере развития математики и были связаны с противоречиями в ее исходных абстракциях и теориях. Поскольку математика оперирует бесконечными множествами абстрактных объектов, постольку ее исходные понятия и теории опираются на различные абстракции математической бесконечности.

Абстракция потенциальной, или становящейся, бесконечности помогла преодолеть второй кризис в основаниях математики. Переход к абстракции актуальной бесконечности в теории множеств, в которой бесконечные множества уподобляются конечным множествам, привел к новым трудностям и к третьему кризису в основаниях математики, выход из которого сторонники математического интуиционизма и конструктивизма ищут в возврате к абстракции потенциальной осуществимости и бесконечности. Эти примеры ясно показывают сложный и противоречивый характер проблемных ситуаций в математике, которые связаны с глубокими философскими и логико-математическими представлениями о бесконечности.