Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография - [28]
• Количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, называется функцией Эйлера и обозначается как ф(n).
• Если n = p∙q, где р и q — простые числа, то ф(n) = (р — 1)(q — 1).
• Из малой теоремы Ферма мы знаем, что если а — целое число, большее нуля, и р — простое число, то а>р-1
• Согласно теореме Эйлера, если НОД (n, а) = 1, то а>ф(n)
Как уже упоминалось, система шифрования называется «с открытым ключом», потому что ключ шифрования доступен любому отправителю, желающему передавать сообщения. Каждый получатель имеет свой открытый ключ. Сообщения всегда передаются в виде цифр, будь то ASCII-коды или какая-либо другая система.
Сначала Джеймс вычисляет значение n путем умножения двух простых чисел р и q (n = pq) и выбирает значение е так, чтобы НОД (ф(n), е) = 1. Напомним, что ф(n) = (р — 1)(q — 1). Данные, которые являются открытыми, — это значение n и значение е (ни при каких обстоятельствах нельзя выдавать значения р и q). Пара (n, е) является открытым ключом системы, а значения р и q называются RSА-числами. Затем Джеймс вычисляет единственное значение d по модулю ф(n), которое удовлетворяет условию d∙е = 1, то естьd является обратным элементом к числу е по модулю ф(n). Мы знаем, что обратный элемент существует, потому что НОД (ф(n), е) = 1. Это число d является закрытым ключом системы. Со своей стороны, Питер использует открытый ключ (n, е) для шифрования сообщения М с помощью функции М = m>e (mod n). Получив сообщение, Джеймс вычисляет M>d= (m>e)>d (mod n), а это выражение эквивалентно M>d= (m>e)>d= m (mod n), что свидетельствует о возможности расшифровать сообщение.
Теперь мы применим эту процедуру к конкретным числовым значениям.
Если р = 3 и q = 11, получим n = 33. Тогда ф(33) = (3–1)∙(11—1) = 20.
Джеймс выбирает е, не имеющее общего делителя с 20, например, е = 7. Открытый ключ Джеймса (33,7).
• Джеймс также вычислил закрытый ключ d, который является обратным элементом к числу 7 по модулю 20, а именно число d = 3, так как 7∙3
• Питер, имея открытый ключ, хочет отправить нам сообщение «9». Чтобы зашифровать это сообщение, он использует открытый ключ Джеймса и вычисляет:
9>7 = 4 782969
Зашифрованное сообщение имеет вид «15». Питер посылает его нам.
Джеймс получает сообщение «15» и расшифровывает его следующим образом:
15>3 = 3375
Сообщение расшифровано правильно.
Если мы выбираем большие простые числа р, q, то вычисления в алгоритме RSA становятся такими сложными, что нам придется использовать компьютер. Например, если р = 23 и q = 17, то n = 391. Открытым ключом при выбранном е = 3 будет пара (391,3). Тогда d = 235. Для простого сообщения «34» операция расшифровки будет выглядеть так:
204>235
Обратите внимание на степень числа и представьте себе гигантское количество расчетов, необходимых для нахождения этого решения.
Почему мы можем доверять алгоритму RSA
Потенциальный шпион располагает значениями n и е, потому что они являются открытыми. Чтобы расшифровать сообщение, ему нужно также значение d, т. е. закрытый ключ. Как мы показали в предыдущем примере, значение d получается из n и е. Чем же обусловлена безопасность? Напомним, что для построениям/ необходимо знать ф(n) = (р — 1)(q — 1), в частности, р и q. Для этого «достаточно» разложить n на простые множители р и q. Проблема для шпиона заключается в том, что разложение большого числа на простые множители является медленным и трудоемким процессом. Если n достаточно большое (состоящее более чем из 100 цифр), не существует известных способов нахождения р и q за разумное количество времени. В настоящее время простые числа, используемые для шифрования чрезвычайно конфиденциальных сообщений, состоят более чем из 200 цифр.
Алгоритм RSA требует много машинного времени и очень мощных процессоров.
До 1980-х гг. только правительства, армия и крупные предприятия имели достаточно мощные компьютеры для работы с RSA. В результате у них была фактически монополия на эффективное шифрование. Летом 1991 г. Филипп Циммерман, американский физик и борец за сохранение конфиденциальности, предложил бесплатную систему шифрования PGP (Pretty Good Privacy — «достаточно хорошая степень конфиденциальности»), алгоритм которой мог работать на домашних компьютерах.
PGP использует классическое симметричное шифрование, что и обеспечивает ей большую скорость на домашних компьютерах, но она шифрует ключи по асимметричному алгоритму RSA.
Циммерман объяснил причины этой меры в открытом письме, которое заслуживает быть процитированным здесь, по крайней мере, частично из-за пророческого описания того, как мы живем, работаем и общаемся два десятилетия спустя.
«Это личное. Это конфиденциальное. И это только ваше дело и ничье другое.
Вы можете планировать политическую кампанию, обсуждать ваши налоги или иметь тайную любовную связь. Или вы можете заниматься тем, что вам не кажется незаконным, хотя таковым является. Что бы то ни было, вы не хотите, чтобы ваши личные электронные письма или конфиденциальные документы были прочитаны кем-то еще. Нет ничего плохого в том, чтобы охранять вашу частную жизнь. Частная жизнь неприкосновенна, как Конституция…
