Математика. Поиск истины. - [36]

Рис. 23.

До этого момента к работе Кеплера в полной мере относилось критическое замечание, которое Аристотель не раз адресовал пифагорейцам: «Они [пифагорейцы] рассматривали явления не ради их самих и не ради того, чтобы докопаться до их причин, а единственно с намерением подогнать явления под свои априорные суждения и попытаться реконструировать мир». Но умудренный опытом прошлых веков Кеплер слишком чтил факты, чтобы отстаивать теории, не согласующиеся с наблюдениями и не позволяющие делать точные, предсказания.

Получив в свое распоряжение данные многолетних наблюдений Тихо Браге и проведя собственные наблюдения, Кеплер убедился в необходимости отвергнуть астрономические построения как своих предшественников, Птолемея и Коперника, так и собственные. Неутомимый поиск законов, которые бы находились в согласии с данными наблюдений, увенчался открытием трех знаменитых законов движения планет. Первые два закона Кеплер изложил в своем труде «Новая астрономия», опубликованном в 1609 г.

Первый из законов Кеплера в полном противоречии с традицией вводит в астрономию эллипс. Изучением этой кривой занимались еще древние греки примерно за две тысячи лет до описываемых событий, поэтому математические свойства эллипса были хорошо известны. Если окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных (на расстояние, равное радиусу) от данной точки (центра окружности), то эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Таким образом, если F₁ и F₂ — две заданные точки (рис 24), а P — произвольная точка эллипса, то сумма PF₁ + PF₂ не зависит от того, где именно расположена точка P на эллипсе. Две заданные точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса. Первый закон Кеплера гласит: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Другой фокус — чисто математическая точка, физически ничем не выделенная. Разумеется, каждая планета движется по своему эллипсу, один из фокусов которого (тот, в котором находится Солнце) является общим для эллиптических орбит всех планет. Таким образом, после пятнадцати столетий безуспешных попыток описать движение планет с помощью громоздких комбинаций окружностей на смену последним пришел простой эллипс.

Рис. 24.

Первый закон Кеплера говорит нам, по какой траектории движется планета, но умалчивает о том, сколь быстро планета движется по своей орбите; когда бы мы ни наблюдали положение планеты, предсказать, через какое время она окажется в другой точке орбиты, нам не удастся. Можно было бы ожидать, что каждая планета движется по своей орбите с постоянной скоростью, но, как показывали наблюдения — а именно с ними прежде всего сверялся Кеплер, — такое предположение не соответствует действительности. Второй закон Кеплера утверждает, что площади, заметаемые за одинаковое время отрезком, проведенным от Солнца к планете, равны. Иначе говоря, если планета перемещается из точки P в точку Q (рис. 25), скажем, за один месяц и из точки P' в точку Q' также за один месяц, то площади секторов F₁PQ и F₂P^'Q^' равны. Кеплер был вне себя от радости, когда обнаружил, что закон изменения скоростей выражается столь простой зависимостью. Всевидящий Бог явно отдавал предпочтение постоянной секторной скорости перед постоянной линейной скоростью. 

Рис. 25.

Но одна важная проблема осталась нерешенной. По какому закону изменяются расстояния от Солнца до планет? Дело осложнялось тем, что расстояние от планеты до Солнца непостоянно, и Кеплер пытался нащупать новый принцип, который бы отражал это обстоятельство. По глубокому убеждению Кеплера, природа была сотворена на основе не только математических, но и гармонических принципов. Он верил в музыку сфер, чарующие мелодии которой запечатлены не в звуках, а в движениях планет, способных, однако, при надлежащем переводе рождать гармонические созвучия. Следуя этой идее, Кеплер путем поистине удивительной комбинации аргументов математического и музыкального характера пришел к третьему закону движения планет, который гласит: если T — период обращения планеты вокруг Солнца, a D — ее среднее расстояние от Солнца, то

T² = kD³,

где k — постоянная, одинаковая для всех планет. (В действительности вместо среднего расстояния D следует брать большую полуось эллиптической орбиты планеты.) Такова формулировка третьего закона Кеплера, об открытии которого он торжественно возвестил в своем сочинении «Гармония Мира» (1619).

Так как среднее расстояние Земли от Солнца равно примерно 150 млн. км, а период ее обращения вокруг Солнца равен одному году, мы можем, подставляя значения D и T для Земли, вычислить постоянную k. Это означает, что с помощью третьего закона Кеплера мы можем вычислять среднее расстояние от планеты до Солнца, если известен ее период обращения, или, наоборот, период, если известно среднее расстояние.

Кеплер, несомненно, предпочел бы найти какое-нибудь соотношение между размерами планетных орбит, но и полученный результат преисполнил его такой радостью, что, сформулировав суть открытого им закона на страницах своего сочинения, он разразился гимном во славу Творца: