Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [14]
Ответ: √19, но сколько это? Мы знаем, что √16 = 4 и √25 = 5, следовательно, квадратный корень из 19 должен дать значение где-то между 4 и 5.
Вычисление корня с помощью карандаша и бумаги требует определенной умственной гимнастики, так что вполне простительно вооружиться калькулятором. Нажимаем клавиши ‹19 √› и получаем 4,3588989… Это десятичная, бесконечно тянущаяся дробь без повторяющихся сочетаний цифр. Такие числа называют иррациональными. Все квадратные корни, которые не являются целыми числами, иррациональны.
Другие степени и корни
Степени могут быть любыми. Помимо квадратов вы еще, скорее всего, столкнетесь только с кубами, например 6³ = шесть в степени три = 6 × 6 × 6 = 216. Кубы используют в основном при вычислении объемов, в простейшем случае – объема кубического сосуда (все стенки которого – квадраты).
Процесс, обратный возведению в куб, называется извлечением кубического корня и обозначается так же, как извлечение корня квадратного, но рядом со значком корня ставится маленькая цифра 3, так, как здесь:
Стало быть, если нам известно, что объем кубического сосуда – 216 кубических метров, то длина каждой его стороны равна кубическому корню из 216, то есть 6 метрам.
Если степень отрицательна, на число под степенью нужно делить. Например, 10>−3 – десять в степени минус три. Это то же самое, что и
Отрицательные степени часто используют при работе с очень большими или крайне малыми числами, и об этом мы поговорим в следующем разделе.
Нормальная форма
Масса Земли примерно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.
Официальное название этого числа – шесть септильонов, хотя «шесть с двадцатью четырьмя нулями на конце» звучит понятнее. Можно выразить это не словами, а числами так:
Предположим, нам нужно вычислить, сколько будет 6 × 10³. Это то же самое, что и 6 × 1000, поэтому сдвинем 6 на три знака влево и получим 6000. Аналогично 6 × 10>24 означает 6 с 24 нулями на конце.
Если вы хотите выразить вес точнее, вместо одной цифры, такой как 6, следует взять десятичную дробь с одним знаком перед запятой и умножить на степень десятки, вот так:
Это называют записью числа в нормальной форме. Хотя в десятичной дроби гораздо больше цифр, чем одна, множитель × 10>24 остался прежним. Умножая на 10>24, мы все так же сдвигаем цифры на 24 знака влево, заполняя пустоты нулями. Поскольку цифры 9736 уже занимают четыре знака, просто добавим 20 нулей и получим массу: 5 973 600 000 000 000 000 000 000 кг.
Нормальную форму можно также использовать для очень маленьких чисел.
На первый взгляд кажется, что масса атома водорода больше массы Земли. Но это не так. И все благодаря крошечному знаку «минус», из‑за которого мы делим, а не умножаем. Поэтому × 10>−27 – это то же самое, что и ÷ 10>27, а значит, нужно передвинуть все цифры на 27 знаков вправо.
Большинство калькуляторов используют нормальную форму, чтобы отображать числа, которые не помещаются на экране. Но вместо 1,67 × 10>−27 калькулятор, скорее всего, покажет вам >1,67 E−27. («Е» обозначает «экспоненту», иначе говоря, степень.)
Средние значения
Средние значения часто фигурируют в новостях, особенно когда нужно шокировать зрителей статистическими показателями, скажем, такими как рост средних глобальных температур, или средняя продолжительность необходимого школьникам сна, или среднее количество личных автомобилей у футболистов. На самом деле есть три разновидности средних значений – среднее арифметическое, мода и медиана[7]. Но когда люди говорят о «среднем значении», обычно они имеют в виду среднее арифметическое.
Среднее арифметическое
Расчет средних значений поможет вам спрогнозировать ситуацию в будущем. Например, если в прошлом году вы 7 дней отдыхали в Браунпуле и истратили за это время 350 фунтов, то среднее арифметическое ваших ежедневных расходов составит 350 ÷ 7 = 50 фунтов. Допустим, в этом году вы планируете поехать туда уже на 10 дней. Значит, на этот раз вам понадобится около 50 × 10 = 500 фунтов. А теперь посмотрим, как расчет среднего арифметического может помочь серьезному деловому человеку…
В прошлую субботу Лэрди припарковал свой фургончик с пирогами у ограды санатория. Сорок его обитателей ухитрились, дотянувшись через заграждение из колючей проволоки, купить у Лэрди пироги. Один человек купил всего один пирог, пятнадцать – по два пирога и т. д. Вот результаты.
Чтобы узнать среднее количество пирогов, приходящееся на одного человека, нужно вычислить такое выражение:
Чтобы подсчитать общее количество проданных пирогов, сложим значения из нижней строки таблицы и получим 136 пирогов, а сложив значения из второй строки, узнаем общее число покупателей – 40.
Таким образом, в среднем на человека приходится 3,4 пирога. Теперь, зная среднее арифметическое, Лэрди может примерно подсчитать, сколько пирогов привезти в следующий раз. Предположим, он надеется обслужить 1000 человек прежде, чем его застукают и арестуют, тогда он может рассчитывать на продажу примерно 3,4 × 1000 = 3400 пирогов.
