Математика для любознательных [заметки]
1
Даровитого германского математика, физика, философа и беллетриста Курда Лассвица (1848-1910) часто называют «немецким Жюль Верном», так как он был первым удачным последователем знаменитого французского романиста. Особенно широкую известность получил его большой астрономический роман «На двух планетах» (1897) - одно из лучших произведений научной фантастики. Печатаемые в настоящем сборнике два его рассказа появляются в русском переводе впервые.
Рассказ «На мыльном пузыре» написан в 1887 г. Он приведен здесь с незначительными сокращениями (исключены излишние длинноты). - Ред.
2
Здесь под биллионом надо понимать миллион миллионов (1.000.000.000.000). - Ред.
3
28 часов содержат около 100.000 секунд. - Ред.
4
Избрав имя, созвучное с именем Галилея, автор, по-видимому, желает подчеркнуть этим сходство судьбы обоих мыслителей. - Ред.
5
Или изолированная часть вселенной, за пределы которой наблюдатели не могут выйти.
6
Поучительно сопоставить с этим тот факт, что дети в начале обучения грамоте не замечают никакой разницы между и, если не видят их одновременно.
7
Не излишне отметить, что эта относительность не есть та, о которой трактует так называемый «принцип относительности» - новое учение о пространстве и времени, недавно созданное Альбертом Эйнштейном. Изложенные здесь соображения могут лишь служить некоторой подготовкой мышления к пониманию крайне трудной по своей отвлеченности теории гениального германского физика.
8
Извлечение сделано по переводу Е. М. Чистяковой-Вэр. Повесть знаменитого английского романиста появилась в подлиннике в 1894 г.
9
Отрывок из романа «Гектор Сервадак» (1877 г.). Сюжет романа - астрономический: комета задевает земной шар в области Средиземного моря и уносит с собою часть земной поверхности вместе с несколькими обитателями - французами и русскими, - благополучно пережившими катастрофу. Жизнь их на этом небесном теле - Галлии - и составляет главное содержание романа. - Ред.
10
Прибор для определения скорости хода судна. - Прим. изд.
11
Геодезический инструмент для измерения горизонтальных углов между магнитным меридианом и направлением на предмет. - Прим. изд.
12
Расчеты здесь и далее проверены и исправлены издателем. - Прим. изд.
13
Расстояние от южного до северного полюса равно 12.713,505 км, а диаметр земли на экваторе - 12.756,274 км. - Прим. изд.
14
Так как Галлия делала оборот вокруг Солнца в два года и этот период был разделен обитателями кометы на 12 частей, то месяцы на Галлии были также вдвое длиннее земных. - Ред.
15
Напряжение тяжести на поверхности небесного тела зависит, впрочем, не от одной лишь массы этого тела, но и от величины его радиуса. - Ред.
16
Имя торговца, также очутившегося на комете.
17
Маленькое судно.
18
Вот вес французских монет:
Золотых: 100 фр. - 32,25 грамма; 50 фр. - 16,12 г; 20 фр. - 6,45 г; 10 фр. - 3,22 г; 5 фр. - 1,61 г. Серебряных: 5 фр. - 25 г; 2 фр. - 10 г; 1 фр. - 5 г; >1/>2 фр. - 2,5 г. Медных: 10 сант. - 10 г; 5 с. - 5 г; 2 с. - 2 г; 1 с. - 1 г. - Примеч. Ж. Верна.
19
По этому поводу знаменитый астроном рассказывал о следующем забавном случае. Однажды в его гостиную вошел незнакомый ему молодой человек, вежливо поклонившийся профессору.
- С кем имею удовольствие разговаривать? - осведомился Араго.
- О, м-сье Араго. вы наверное хорошо знаете меня: я посещаю аккуратно ваши лекции, и вы не спускаете с меня взгляда во все время чтения. - Примеч. Ж. Верна.
20
Здесь биллионом называется миллион миллионов, а триллионом - миллион таких биллионов. В подлиннике проведена другая система наименований: биллионом (или миллиардом) называется 1000 миллионов, триллионом - миллион миллионов, и далее каждой тысяче (а не миллиону) единиц предыдущего наименования дается новое название: квадрильон, квинтильон, секстильон, септильон, октальон, нональон, декальон, эндекальон, додекальон. - Ред.
21
Миллиард минут истекло лишь 29 апреля 1902 г. в 10 ч. 40 м. утра. - Ред.
22
Числовые данные приведены в исправленном виде. - Прим. изд.
23
В подлиннике это число названо: «два нональона» (согласно другой системе наименования больших чисел). - Ред.
24
Данные о монетах приведены на 20-е годы XX века. - Прим. изд.
25
Английский беллетрист. Рассказ передан здесь в извлечении, по переводу И. Жаринцевой (1900 г.). - Ред.
26
В 1895 г. Хотя Фритьофу Нансену удалось проникнуть тогда только до 86°4' сев. широты, многие газеты, недостаточно осведомленные, поспешили оповестить, что Нансен открыл полюс. - Ред.
27
Угломерный инструмент для определения угловых высот небесных светил. - Прим. изд.
28
Число упражнений, выполняемых с помощью живого планетария, довольно велико, и их можно всячески видоизменять. Кто интересуется ими, тому советуем обратиться к книге И. Платонова «Практические занятия по начальной астрономии».
29
Написан в 1904 г. Переведен с несущественными пропусками.
30
Напомним, что на пишущей машине имеется обычно не более 80 различных знаков. - Ред.
33
Единственно, для чего может, пожалуй, пригодиться механический способ составления фраз и отдельных букв - это для подыскания так называемых «анаграмм». Анаграммой какого-нибудь предложения называется другая фраза, составленная из тех же самых букв, что и первая, но размещенных в ином порядке. Анаграммы могут существовать даже и для сравнительно коротких фраз. Вот любопытный пример нескольких анаграмм предложения
ПРОЛЕТАРИИ ВСЕХ СТРАН, СОЕДИНЯЙТЕСЬ!
1) Не теряйте дара своих сил, проснитесь!
2) Лида, не растеряйте своих, проснитесь!
3) Радость при Ленине, сотрясайте их все!
Но и эти 4 фразы приходятся на огромное число бессмысленных сочетаний тех же букв, определяемое произведением
1х2х3х4х5х6… 30х31 = 8,22284х10>33.
34
Доктор Вильгельм Аренс широко известен своими исследованиями в области математических игр. Главный его труд «Математические развлечения и игры», в двух больших томах, разрабатывает эту область с исчерпывающей полнотой и строгой научностью. Ему принадлежат также следующие сочинения: «Математические развлечения» (более краткое и общепонятное, чем упомянутое выше; есть русский перевод), «Старое и новое из области занимательной математики», «Забава и дело в математике», «Анекдоты о математиках». - Предлагаемый здесь очерк опубликован в 1924 г. в одном математическом сборнике и появляется на русском языке впервые. - Ред.
35
Во Франции игра эта более известна под названием такен. - Ред.
36
«Такен (игра в 15), - говорит французский математик Люка - не только весьма интересная игрушка, но также и прибор, с помощью которого чрезвычайно легко дать наглядное понятие об одном из важнейших отделов алгебры, а именно о теории определителей, принадлежащей Лейбницу. Поэтому теорию и практические приемы игры в такен можно считать своего рода подготовкой к изучению этой части алгебры». - Ред.
37
Современный английский беллетрист. Английские меры подлинника заменены метрическими, вследствие чего пришлось несколько видоизменить и самые задачи. - Ред.
38
Из неизданной рукописи поэта В. Г. Бенедиктова, относящейся к 1869 году.
39
Среди них известный сборник Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки» (из трех его книг 2-я и 3-я составлены при участии автора предлагаемого сборника) почти исчерпывает весь «классический» материал арифметических развлечений.
40
Адрес для корреспонденции: Ленинград, Стремянная ул., 4. Кооперативное Издательство «Время». Якову Исидоровичу Перельману.
41
Вечерний выпуск газеты «Биржевые Ведомости» от 16 марта 1917 г.
42
Их было много тогда в Ленинграде. Позднее я узнал, что китайский иероглиф для 10 имеет как раз указанную форму креста (китайцы не употребляют наших «арабских» цифр).
43
Это показывает, что описываемые знаки были в широком употреблении среди населения.
44
Торговцы, вразнос продающие галантерейные товары, книжки, лубочные картинки. - Прим. изд.
45
Расположение чисел здесь такое, какое принято теперь в Англии и Америке (а в прежнее время употреблялось и в русских учебных книгах): частное и делитель пишутся по обе стороны делимого.
46
Английское название игры «div-al-et» - сокращение от «division by letters», т. е. деление с помощью букв.
47
Желающие применить эту систему на практике при устройстве библиотеки найдут все необходимые сведения в книге Международного Библиографического Института «Десятичная классификация». Перевод под редакцией проф. А. М. Ловягина (Ленинград, 1923).
48
Семикосточковые счеты в Китае чрезвычайно распространены; они изготовляются всевозможных размеров, до самых миниатюрных (у меня имеется привезенный из Китая экземпляр в 17 мм длины и 8 мм ширины).
49
Этот прием полезен и для устного деления на 9.
50
Перечисленные приемы умножения указаны в старинной «Арифметике» Николая Тартальи. Наш современный способ умножения описывается там под названием «шахматного».
51
Венеция и некоторые другие государства Италии в XIV-XVI столетиях вели обширную морскую торговлю, и потому в этих странах приемы счета были, ради коммерческих надобностей, разработаны раньше, чем в других. Лучшие труды по арифметике появились в Венеции. Многие итальянские термины коммерческой арифметики сохранились еще в настоящее время.
52
Старинный русский учебник математики, охватывающий все ее отделы. Это - одна из тех двух книг, которые Ломоносов назвал «вратами своей учености». Подробное заглавие ее таково: «Арифметика, сиречь наука числительная, повелением царя Петра Алексеевича в великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей на свет произведена в лето от рождества бога слова 1703».
53
Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.
54
Выясняется попутно при выводе признака делимости на 9 (читатель найдет вывод в моей «Хрестоматии-задачнике по начальной математике»).
55
См. составленные мною «Таблицы и правила для вычислений». Изд. Промбюро. Ленинград, 1926 г.
56
Папирус был разыскан английским египтологом Генри Риндом; он оказался заключенным в металлический футляр. В развернутом виде имеет 20 метров длины, при 30 сантиметрах ширины. Хранится в Британском Музее, в Лондоне.
57
Звание «писец» принадлежало третьему классу египетских жрецов; в ведении их находилось «все относившееся к строительной части храма и к его земельной собственности». Математические, астрономические и географические знания составляли их главную специальность (В. Бобынин).
58
Составитель был бы весьма признателен за письменные сообщения (по адресу, указанному в предисловии).
59
«Природа и Люди» (потом она была перепечатана мною в сборнике Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки»).
60
Ответ 1146.
61
Ответ НН, где буквою Н обозначена «цифра 13».
62
Зато, как увидим далее, для такой системы до крайности упрощаются таблица сложения и таблица умножения.
63
Нечетное число, умноженное на себя (т. е. на нечетное) всегда дает нечетное число (например, 7Ч7:=49, 11Ч11=121 и т. п.).
64
Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, имеют сумму цифр, кратную 9-ти.
65
Как распространено это суеверие даже и в нашу эпоху, видно из того, что при устройстве электрического трамвая в Ленинграде (тогда Петербурге) первое время не решались вводить маршрута № 13, а пропустив его, сразу перешли к № 14: опасались, что публика побоится ездить в вагонах с таким «роковым» номером. Любопытно то, что в Ленинграде есть немало домов, где 13-й номер квартиры пропущен… В гостиницах также нередко отсутствует комната № 13. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием на Западе (в Англии) учреждены даже особые «клубы числа 13».
66
В двоичной системе счисления, как мы уже объясняли (см. стр. 195-196), все умножения именно такого рода. На этом примере мы наглядно убеждаемся в преимуществах двоичной системы.
67
Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 142857 x 28 = 999999 x 4 = 4000000-4 = 3999996.
68
Русский перевод (вольный) Жуковского. Эпизод, о котором далее идет речь, описан в главе VIII этой повести.
69
Можно пользоваться и простыми карточками с соответствующими надписями.
70
Проходившие алгебру знают, что и число 1 можно рассматривать, как степень 2-х, именно нулевую.
71
Единицу можно рассматривать как нулевую степень (вообще - как нулевую степень каждого числа).
73
Нетрудно ввести поправку и на високосные годы.
74
Указанными далее приемами ускоренного умножения эти операции облегчаются до чрезвычайности, и миллионный результат получается очень быстро. Советую читателю попробовать произвести то же вычисление и обыкновенным путем, чтобы на деле убедиться, какая экономия во времени получается при пользовании указанной формулой и нижеприведенными приемами.
75
Впрочем, в последние годы способ этот снова стал входить в употребление, - главным образом, благодаря деятельной пропаганде замечательного германского счетчика, инженера Ф. Ферроля. В Америке выдающиеся педагоги высказывались за введение его в школе взамен нынешнего, довольно медленного способа.
76
Старый стиль - летоисчисление по юлианскому календарю, новый стиль - по григорианскому календарю. - Прим. изд.
77
Деля 1904 на 28, мы уже учли, что 1904-й год - високосный; беря же в феврале 29 дней, мы учитываем это обстоятельство второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть.
79
Способов сокращенного вычисления календарных дат существует множество. Я изложил здесь самый простой из известных мне приемов, употребляемый упомянутым выше германским математиком Ф. Ферролем, прославившимся своими поразительно быстрыми устными вычислениями.
80
В книге «Положение человека во вселенной».
81
Фут - единица измерения расстояния, 30,48 см. - Прим. изд.
82
Например, взаимные расстояния планет измеряются десятками и сотнями миллионов километров, расстояния звезд - миллионами миллионов километров, а число молекул в кубическом сантиметре окружающего нас воздуха - миллионами миллионов миллионов. - Я. П.
83
Отметим, для сведения, что в году (астрономическом) 31.556.926 секунд; миллион секунд в точности равен 11 суткам 13 час. 46 мин. 40 сек.
84
До какой степени люди склонны недооценивать величину миллиона, показывает следующий поучительный пример. Тот самый Уоллес, который так предостерегает других от преуменьшения миллиона, заканчивает приведенный выше (стр. 273-275) отрывок таким советом: «В маленьких размерах каждый может устроить это сам для себя: стоит только достать сотню листов толстой бумаги, разлиновать их на квадратики и поставить крупные черные точки. Подобное изображение было бы очень поучительно, хотя не в такой, конечно, степени, как осуществленное в большом масштабе». Почтенный автор, по-видимому, полагал, что подобная работа вполне под силу одному человеку.
85
Мы проделали здесь умножение несколько необычным путем - вместо умножения числа только дважды заменили самую единицу меры другою, в тысячу раз большею. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами.
86
Надо заметить, впрочем, что обычные цифровые обозначения весьма больших чисел и их названия употребляются лишь в популярно-научных книгах; в книгах же строго научных по физике и астрономии пользуются обыкновенно иным способом обозначения: биллион обозначается 10>12, триллион 10>18, двадцать семь тысяч биллионов - 27 x 10>15 и т. д. При таком способе обозначения сберегается место и, кроме того, гораздо легче производить над числами различные действия (по правилам, изучаемым в алгебре).
87
Книга написана в 1926 г. - Прим. изд .
88
Ботокуды - народность общей численностью 2 тыс. чел., проживающая на территории Бразилии. - Прим. изд.
89
В каждом кубич. сантиметре воздуха (т. е. примерно в наперстке) насчитывается - отметим кстати - от 20 до 30 триллионов молекул. Как велико это число, видно, между прочим, из того, что достигнув с помощью совершеннейших воздушных насосов самой крайней степени разрежения - в сто миллиардов раз, - мы все-таки будем еще иметь в каждом куб. сантиметре до 270 миллионов молекул! Не знаешь, чему изумляться больше: огромной численности молекул или их невообразимой малости…
90
Магницкий придерживался той классификации чисел, которая дает каждое новое наименование миллиону низших единиц (биллион - миллион миллионов, и т. д.). Такая система наименований больших чисел принята была и в более поздних русских школьных руководствах (насколько я могу судить по имеющимся у меня русским учебникам конца XVIII и начала XIX века). И лишь сравнительно недавно получила у нас распространение нынешняя, «обиходная» система наименования.
91
Световой год - путь, проходимый лучом света в 1 год (свет пробегает в секунду 300000 км); он равен примерно 9 >1/>2 биллионам км.
92
Лотце «Древность Земли».
93
Имеются в виду линейные размеры (а не объемы), т. е поперечник атома, диаметр солнечной системы, высота или длина дома и т. п.
94
Фурнье Дальб «Два новых мира» (есть русский перевод).
95
Небезынтересно отметить, что Архимед в своем исчислении песчинок определял объем вселенной в 5 x 10>54 куб. см.
96
Шувалово - небольшая станция в 10 километрах от Ленинграда.
