Математические головоломки - [5]
Сократим дробь в левой части уравнения на у; вспомогательное неизвестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид
откуда x = 8.
В артели было 8 косцов.
После напечатания первого издания «Занимательной алгебры» проф. А.В. Цингер прислал мне подробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».
«История этой задачи такова, – продолжает проф. А.В. Цингер. – В Московском университете на математическом факультете в те времена, когда там учились мой отец и мой дядя И. И. Раевский (близкий друг Л. Толстого), среди прочих предметов преподавалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для университета городскую народную школу и там в сотрудничестве с опытными искусными учителями упражняться в преподавании. Среди товарищей Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам – чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров (умерший очень молодым, кажется, от чахотки) утверждал, что на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаблонным способам решения. Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.
Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает
Рис. 4
Если один косец в день скашивает
Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым – уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 4)».
Ниже нам встретятся еще несколько задач, которые при некоторой сообразительности проще решаются арифметически, чем алгебраически.
33
Коровы на лугу
ЗАДАЧА
«При изучении наук задачи полезнее правил», – писал Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» и сопровождал теоретические указания рядом примеров. В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, – родоначальницу особого типа своеобразных задач наподобие следующей.
«Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?»
Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский «Репетитор». Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают:
– Выходит что-то странное, – говорит один из решающих. – Если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколько коров съедят ее в 96 дней? Конечно,
Рис. 5
– А приняли вы в расчет, что трава все время растет? – спрашивает другой.
Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым.
Как же решается задача?
РЕШЕНИЕ
Введем и здесь вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает у, в 24 дня – 24у; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают
1 + 24у.
В сутки все стадо (из 70 коров) съедает
а одна корова съедает
Подобным же образом из того, что 30 коров поели бы траву того же луга в 60 суток, выводим, что одна корова съедает в сутки
Но количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково. Поэтому
откуда
Найдя у (величину прироста), легко уже определить, какую долю первоначального запаса травы съедает одна корова в сутки:
Наконец, составляем уравнение для окончательного решения задачи: если искомое число коров х, то
откуда х = 20.
20 коров поели бы всю траву в 96 дней.
Задача Ньютона
Рассмотрим теперь ньютонову задачу о быках, по образцу которой составлена сейчас рассмотренная.
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй – 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?»
