Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [75]
Следуя той же логике, мы можем оценить бесконечную сумму следующего ряда:
А еще мы можем найти ей физическое соответствие. Представьте, что вы стоите в двух метрах от кирпичной стены. Вы делаете шаг вперед – ровно на метр. Следующий шаг будет вполовину короче – полметра. Потом четверть метра, одна восьмая метра и так далее. С каждым шагом расстояние между вами и стеной сокращается ровно вполовину. Если проигнорировать физические ограничения на длину каждого следующего шага (в том числе и длину ваших ступней), то рано или поздно вы подберетесь вплотную к стене. Всего же вы пройдете ровно 2 метра.
То же можно представить и геометрически. Начнем с прямоугольника с длинами сторон 1 и 2 и площадью 2. Разделим его пополам, потом еще раз и еще – и так до бесконечности. Площадь первого сектора будет равна 1, второго – 1/2, третьего – 1/4 и так далее. Даже когда мы будем делить на n, стремящееся к бесконечности, мы не выйдем за пределы начального прямоугольника, а площади всех его секторов в сумме будут по-прежнему равны 2.
Алгебра позволяет нам подойти к решению задачи с точки зрения частичных, промежуточных сумм:
Эта закономерность подсказывает нам, что при n ≥ 0
Доказать это можно либо с помощью метода индукции (см. главу 6), либо как частный случай формулы конечного геометрического ряда.
Теорема (конечный геометрический ряд): При x ≠ 1 и n ≥ 0
Доказательство 1 (метод индукции): При n = 0 формула говорит нам, что
Она отлично работает и при n = k + 1, поэтому, добавив к обеим сторонам x>k>+1, мы получим
что и требовалось доказать.◻
А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?
Доказательство 2: Предположим, что
Умножим обе стороны на x:
Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим
Другими словами, S(1 − x) = 1 − x>n> + 1, то есть
что и требовалось доказать.
Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:
Чем больше n, тем ближе (1/2)n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится
На этот счет, кстати, есть одна шутка, понять которую сможет только математик. Бесконечное количество математиков заходит в бар. Первый заказывает полный бокал пива, второй – половину бокала, третий – четверть, четвертый – одну восьмую… Наконец, бармен не выдерживает и, воскликнув «Нет, ну есть же этому какой-то предел!», наливает им на всех две полные кружки.
Обобщая, можно сказать, что любое число в интервале от –1 до 1, возводимое во все бо́льшую и бо́льшую степень, все ближе и ближе подходит к нулю. В результате мы имеем крайне важный и полезный (бесконечный) геометрический ряд.
Теорема (геометрический ряд): При –1 < x < 1
Чтобы решить нашу последнюю задачу, примем x = 1/2:
Выглядит знакомо, не правда ли? Это потому что мы уже встречались с подобным рядом – в самом конце главы 11, когда с помощью исчисления старались показать, что функция y = 1/(1 – x) соответствует ряду Тейлора 1 + x + x>2 + x>3 + x>4 +….
А что еще мы можем «выжать» из этого ряда? Как насчет следующей суммы?
Если вынести за скобки дробь 1/4, убрав ее из каждого члена, получится
то есть при x = 1/4 мы можем упростить ряд до
Доказать это можно практически без слов – просто посмотрите на рисунок ниже и обратите внимание, что закрашенные квадраты занимают ровно треть общей площади большого квадрата.
Геометрический ряд можно использовать также для доказательства нашей задачи с 0,99999…, ведь бесконечное количество знаков после запятой есть не что иное, как замаскированный бесконечный ряд. Просто примем x = 1/10 и получим
Формула геометрического ряда верна и тогда, когда х – комплексное число, при условии, что длина x – меньше 1. Например, мнимое число i/2 имеет длину 1/2, из чего следует, что
что показано на следующем графике, расположенном на комплексной плоскости.
И хотя формула конечного геометрического ряда верна для любого значения x ≠ 1, (бесконечный) геометрический ряд требует, чтобы |x| был меньше 1. Например, при x = 2 конечный геометрический ряд покажет нам (как мы уже выяснили в шестой главе), что
а бесконечный – что
что выглядит нелепо (хотя это впечатление может быть и обманчивым: в предпоследнем разделе этой главы мы увидим вполне правдоподобное объяснение такого результата).
Число положительных целых величин бесконечно:
Равно как бесконечно и количество положительных четных целых величин:
Считается, что первое множество (или число элементов, или степень бесконечности) приблизительно равно первому. В пользу этого утверждения говорит тот факт, что положительные целые и положительные четные целые можно объединить в пары, вот так:
Множество, способное к объединению в пары, называется счетным. Степень бесконечности у него, как правило, невелика. Любое множество, величины которого можно перечислить, является счетным, так как первый его элемент есть пара к 1, второй – к 2 и т. д. Множество всех целых величин
