Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [74]
Аналогично, для f(x) = cos x имеем
Ну и напоследок давайте возьмем пример, в котором ряд Тейлора равен функции при некоторых – но не всех – значениях x. Пусть это будет
Следуя и дальше этой закономерности (или воспользовавшись методом индукции), мы неизбежно придем к заключению, что n-ная производная (1 – x)>–1 будет равна n!(1 – x)>−(n + 1) (а при x = 0 – просто n!). Следовательно, ряд Тейлора трансформируется в
что будет верно только при таком значении x, которое находится в диапазоне от –1 до 1. Если же x, например, будет больше 1, то складываемые величины будут становиться все больше и больше, пока сумму станет вовсе невозможно определить.
Странно, правда? Возможно, вам интересно узнать, каково это – складывать бесконечное количество чисел. А как будет выглядеть их сумма? Ответы на эти вопросы – в следующей главе, посвященной бесконечности, главе, в которой мы встретимся со многими странными, удивительными, непредсказуемыми и прекрасными тайнами математики.
Глава номер двенадцать
Магия бесконечности
Бесконечно интересно
Когда еще, как не в конце, под самый занавес, говорить о бесконечности? И когда еще, как не в конце, вспоминать начало? А в начале у нас была сумма всех чисел от 1 до 100:
А потом – и сумма чисел от 1 до n:
А еще были другие суммы чисел конечных диапазонов. В этой главе мы попытаемся сосчитать те числа, ряд которых имеет начало, но не имеет конца, например,
(надеюсь, мне удалось убедить вас, что в результате получится 2, причем не приблизительно, а ровно 2). Некоторые такие ряды дают очень интересные результаты сложения, например,
А другие – вовсе не имеют их, как, скажем,
В математике принято считать, что суммой всех положительных чисел является бесконечность, что записывается следующим образом:
то есть результат постоянно растет, не имея при этом верхнего предела. По сути, это означает, что ответ превосходит любое число, которое только может возникнуть у вас в голове – сотню, миллион, квадриллион… И все-таки в конце главы мы увидим, что вполне бывает, например, и такое:
Заинтригованы? Уверен, что да. Уже через несколько строк мы покинем привычный нам мир и отправимся в сумеречное царство бесконечности, где возможны самые странные вещи, – в царство, манящее всех математиков своей неизведанностью и красотой.
Является ли бесконечность числом? Не совсем, хотя с ним порой и обращаются, как с обычным числом: вы вполне можете натолкнуться на что-нибудь вроде
Теоретически никакого самого большого числа нет: вы всегда можете прибавить к нему единицу и получить еще большее число. Символ ∞ по существу обозначает величину «произвольно большую» или бо́льшую, чем любая другая положительная величина. Другой полюс бесконечности представлен −∞, величиной меньшей, чем любая другая отрицательная величина.
Кстати, количества, выражаемые как ∞ – ∞ (бесконечность минус бесконечность) или 1/0 являются неопределенными. Конечно, очень велико искушение заявить, что 1/0 = ∞, потому что при делении единицы на все меньшую и меньшую положительную величину частное будет расти. Но ведь если делить 1 на все меньшие и меньшие по абсолютной величине отрицательные числа, то частное будет представать все большим и большим по абсолютной величине отрицательным числом.
Важность бесконечной суммы: геометрические ряды
Начнем, пожалуй, с утверждения, принимаемого всеми математиками и кажущегося неправильным большинству непосвященных:
То, что две эти величины очень близки друг к другу, не вызывает сомнений практически ни у кого. Но считать их одним и тем же числом?.. Несколько чересчур, правда? Неправда. Позвольте мне попробовать убедить вас в обратном. Поверьте, доказательств у меня так много, что хотя бы одно из них обязательно покажется вам правдоподобным.
Самое, пожалуй, простое исходит из утверждения, что
Умножаем обе стороны на 3 и получаем
Другое доказательство основано на методе, который мы использовали в главе 6 для периодических десятичных дробей. Обозначим бесконечную последовательность знаков после запятой переменной w, вот так:
Умножим обе части на 10:
Вычтем первое уравнение из второго
и получим w = 1.
А вот доказательство, для которого алгебра вообще не нужна. Надеюсь, вы согласны с тем, что два числа могут считаться разными, если между ними расположено третье число, не равное ни первому, ни второму (например, их среднее арифметическое)? Пойдем от обратного: предположим, что 0,99999… и 1 суть разные величины. Какое же тогда число будет между ними? А если такого числа нет, значит, мы не можем утверждать, что они разные.
Два числа или две бесконечные суммы считаются равными в том случае, если они сколь угодно близки друг к другу, то есть разница между ними меньше любой положительной величины, будь то 0,1 или 0,0000001, или 1, деленное на триллион. Разница между 1 и 0,99999… – наглядный тому пример, и именно это дает математикам право утверждать, что 1 и 0,99999… суть одно и то же число.
