Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - [71]

= 2. Именно она и даст нам максимум – y = 128 см³.

Правила дифференцирования

Чем больше функций мы продифференцируем, тем больше задач сможем решить. Пожалуй, самой важной функцией в исчислении является показательная функция y = e^x. Ее особенность в том, что она равна собственной производной.

Теорема: Если y = e^x, то y' = e^x.

Отступление

Почему f(x) = e^x соответствует f'(x) = e^x? Смотрите, в чем секрет. Сначала обратите внимание на то, что

Вспомним, что е, по сути, есть

что означает, что с увеличением n значение члена (1 + 1/n)ⁿ будет все ближе и ближе подходить к e. Теперь предположим, что h = 1/n. При очень большом значении n h = 1/n находится очень близко к 0. Следовательно, при h, близком к 0,

e ≈ (1 + h )1/ h

Возведя обе части в степень h (и помня, что (a^b)^c = a^bc), получаем

А есть ли еще такие функции, которые равны своим производным? Есть. Но все они сводятся к y = ce^x, где c заменяется любым действительным числом (в том числе и 0, который превращает функцию в постоянную y = 0).

Не так давно мы выяснили, что при сложении функций производная суммы равна сумме производных. А что насчет умножения? Увы, но производная произведения не равна произведению производных. Тем не менее посчитать ее не очень сложно – для этого достаточно воспользоваться несложной теоремой.

Теорема (правило дифференцирования произведения функций): Если y = f(x)g(x), то

y' = f ( x ) g' ( x ) + f' ( x ) g ( x )

Например, согласно правилу дифференцирования произведения, чтобы продифференцировать y = x³e^x, нам нужно взять f(x) = x³ и g(x) = ex. В результате у нас получится

y' = f ( x ) g' ( x ) + f' ( x ) g ( x ) = x >3 e >x + 3 x >2 e >x

Обратите внимание, что при f(x) = x³ и g(x) = x⁵ их произведение, согласно тому же правилу, составит x³x⁵ = x⁸. Производная же будет выглядеть как

y' = x >3 (5 x >4 ) + 3 x >2 ( x >5 ) = 5 x >7 + 3 x >7 = 8 x >7

что полностью соответствует правилу дифференцирования степенной функции.

Отступление

Доказательство (правило дифференцирования произведения функций): Предположим, что u(x) = f(x)g(x). Тогда

А дальше творим истинно математическое волшебство – добавляем к числителю 0, но не привычным способом, а с помощью прибавления и вычитания f(x + h)g(x):

Так как h → 0, в результате имеем f(x)g'(x) + f'(x)g(x), что и требовалось доказать.◻

Но доказанное правило полезно не только в этом конкретном случае – с его помощью можно найти производные других функций. Мы уже доказали, что правило дифференцирования степенной функции верно при положительных значениях показателя степени. Давайте посмотрим, как оно поведет себя при дробных и отрицательных значениях.

Например, согласно правилу дифференцирования степенной функции

Сможем ли мы доказать его с помощью правила дифференцирования произведения? Предположим u(x) = √x. Тогда

u ( x ) u ( x ) = √ x √ x = x

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u ( x ) u' ( x ) + u' ( x ) u ( x ) = 1

Следовательно,

как мы и предполагали.

Отступление

Правило дифференцирования произведения при отрицательных значениях степени гласит, что y = x⁻ⁿ будет иметь производную

Чтобы это доказать, возьмем u(x) = x⁻ⁿ, где n ≥ 1. Согласно определению, при x ≠ 0

u ( x ) xn = x >– >n x >n = x 0 = 1

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u ( x )( nx >n− >1 ) + u '( x ) x >n = 0

Разделив всех члены уравнения на xⁿ и перенеся первый член в другую часть уравнения, получаем

что и требовалось доказать.◻

Следовательно, если y = 1/x = x^–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x^–2, то y' = −2x^–3 = −2/x³, и т. д.

Помните, в 7 главе мы искали такое положительное значение x, при котором функция

y = x + 1/ x

показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y' = 0, это дает нам 1 – 1/x² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.

Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.

Теорема: Если y = sin x, то y' = cos x, а если y = cos x, то y' = –sin x. Другими словами, производная синуса равна косинусу, а производная косинуса – синусу со знаком минус.

Отступление

Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом

И снова h → 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻

Отступление

То, что