Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [69]

Вместо «конечного и бесконечного» Пифагора, Платон использовал понятие «большое и малое», что напоминает наш континуум, как, например, «все множество чисел, соответствующее точкам на линии».

Из этого и Единицы он попытался получить свои Идеальные числа, которые некоторые толкователи, включая Аристотеля, наделяли идентичной сутью с его Идеями или Формами. Но, подобно всем своим современникам, Платон оказался ограничен недостатком системы обозначений, способной записать и придать форму неуловимой концепции, которую он, возможно, создал в своем воображении, и профессионалам-платонистам еще только предстоит достигнуть согласия по поводу, какова она все-таки как единое целое. Возможно, если бы Идеальные числа были созданием юного Платона, а не Платона-старца, их было бы много проще понять.

Мы рассмотрим затем ту роль, которую парадоксы Зенона могли сыграть и, вероятно, сыграли в неспособности греков перейти от их теории величин к обобщенной арифметике, способной описать движение. «Бесконечное число», заложенное в «величинах» геометров, ускользало как от математиков, так и от философов вплоть до последней трети XIX столетия.

Глава 17 Ошибка рассуждений

Нельзя добежать до конца дистанции в забеге, потому что, прежде чем пробежать всю дистанцию, необходимо пройти ее половину, а чтобы дойти до половины, надо перевалить через четверть дистанции, и так далее до бесконечности. Из этого следует, что в любом заданном месте пространства существует бесчисленное множество точек. И нет никакой возможности дотронуться до каждой точки бесчисленного множества точек за определенный момент времени.

Но атлеты-то доходят до финиша, а некоторые из них пробегают сто ярдов за девять с половиной секунд, что само по себе является конечной величиной времени.

Атлеты не только проходят дистанцию, а самый быстрый из них обходит всех, кто оказался ближе к финишу, и выигрывает забег. У нас, наверное, что-то не так со зрением, поскольку «того, кто медленнее, никогда не обгонит на его траектории тот, кто быстрее, поскольку преследующий обречен всегда прибегать сначала к точке, которую преследуемый только что покинул. Следовательно, тот, кто медленнее, всегда будет впереди».

Еще более увлекательно звучит, что нельзя совершить убийство с использованием стрел, огнестрельного оружия, ножей или любых других материальных орудий. Потому что стрела, или пуля, или нож должны проходить сквозь тело жертвы, а чтобы сделать это, они должны двигаться. Но они не могут двигаться, потому что для них самостоятельное движение невозможно, и далее все, как в предыдущем примере, используя подобную же схему умозаключений. Хотя тысячи человек были застрелены или заколоты насмерть, а других повесили за совершенные убийства. Либо имеет место серьезная ошибка в логике, либо еще большая судебная ошибка. Но логика не ошибается, ведь она самая проверенная подручная чистого разума. Следовательно, наши ощущения, как всегда, должны были сознательно ввести нас в заблуждение. Мы выдумали все эти легкоатлетические состязания, а быстроногие атлеты, выигрывающие забеги, которых мы наблюдали, и все эти убийства, о которых читали в газетах, были всего лишь иллюзиями нашего чувственного опыта. Ничего этого не было.

Если последнее звучит как пародия на нормальное доказательство и еще более нормальный жизненный опыт, каковым он является, можно вспомнить множество примеров из истории, таких же абсурдных карикатур на нормальную психику и здравый смысл. Чтобы привести пример, который не будет спорным, поскольку все поводы для споров давно исчерпаны, обратимся к истории с ортодоксальными логиками времен Галилея (конец XVI века), отрицающими очевидность чувственного опыта в случае падения тел. Логики видели, как тела весом один фунт и десять фунтов падали с равной высоты и коснулись земли одновременно. Но их интуитивная логика подсказывала им, что следует предположить, что более тяжелое тело должно падать в десять раз быстрее, чем легкое. Увиденное, следовательно, было навязчивым обманом разума со стороны чувств. Они продолжали настаивать на своей правоте, и для них, следовательно, все было очевидно. Чуть позже более податливые приняли приглашение Галилея посмотреть на спутники Юпитера через его телескоп. Они легко отнесли то, что увидели, к числу миражей, созданных дефектами на стекле линз. Греческая астрономическая система не предполагала существования этих искусственных спутников. Следовательно, они не могли существовать наяву. Пятна на солнце, в существовании которых Галилей начал убеждать завзятых логиков еще позднее, предлагая взглянуть на небеса «через его стеклянное око», также были отвергнуты рассуждениями. Солнце, о существовании которого знали со времен Пифагора, было идеальным телом. Следовательно, у него не могло быть недостатков. Самые стойкие логики вообще отказались смотреть на солнце в телескоп. Если разум непогрешим, то зачем полагаться на чувства? Вера тех людей была столь же велика, сколь и отсутствие у них здравого смысла.

Приведенные парадоксы взяты из парадоксов Зенона. О нем мало что известно. Зенон, сын Телетагора, был родом из Элии. Наибольшего расцвета достиг в 475 году до н. э. Не более того известно о целях, которые он преследовал при создании своих бессмертных парадоксов. Его парадоксы движения, возможно, наиболее популярные из восьми, что Зенон завещал многим поколениям логиков и математиков. Два других парадокса движения получили наименование «Стрела» и «Стадион». «Летящая стрела находится в покое. Поскольку то, что находится в покое, занимает пространство, равное себе, и то, что летит в данный момент времени, тоже занимает пространство, равное себе, стрела не может двигаться». «Стадион» – парадокс более сложный для понимания без дополнительных пояснений, поэтому пропустим его. Он заведет нас во временной абсурд, когда половина отведенного времени равна всему времени. Еще четыре парадокса столь же сложны для восприятия, но для заявленных целей вполне достаточно уже трех указанных.