Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [42]
После победы пришла головная боль. Жители Кротона оказались перед обычной для победителей проблемой: неизбежным дележом трофеев. Милон захватил все земли, ранее поддерживавшие достаток правящего класса в Сибарисе. Кому они теперь принадлежали: аристократичному братству Пифагора или демократической толпе? Проливавшие кровь начали выступать за поощрение. Их рупором стал Килон – лидер демократической партии Кротона. И Килон, со своей стороны, увидел в требованиях толпы вернуть землю возможность, о которой мечтал все ужасные двадцать лет, с тех пор как был изгнан братством, – схлестнуться с самим «надутым старым снобом и благочестивым притворщиком Пифагором». Так он именовал ученого за акустические эффекты. Как всегда безмятежный, Пифагор не придал значения ропоту и протестам. Пусть простонародье кричит и вопит, все сущее по-прежнему еще число. Он и его братья-математики продолжали спокойно работать, отыскивая тайну мироздания. Не догадываясь, что их мир спокойствия и хладнокровия, которое они так холили, разбился вдребезги и исчез, пока братья продолжали доказывать, что Земля есть чистая и безупречная нота в небесной гармонии сфер.
Глава 13
Преобразованная мифология
Самое время вкратце упомянуть те реальные результаты учения братства пифагорейцев, прежде чем перейти к рассмотрению нескольких любопытных и более важных деталей, которые повлияли на рациональную мысль на многие (возможно, слишком даже многие) столетия.
Перед тем как пифагорейцы решили, что они свели всё до чисел, мифология вселенной была в значительной степени антропоморфической. Для объяснения бурь и гроз понадобилось одушевить ветер, гром, молнии и все природные явления. Своей универсальной арифметикой природы пифагорейцы отмели прочь все эти ранние персонификации, заменив их на «удлиненные тени людей» как правителей вселенской чисто абстрактной математической фикции. Задача осталась неизменной: дать рациональную картину мира, каким он видится людям. Боги обслуживали эту цель достаточно хорошо, пока рационалисты, подобные Фалесу, Анаксимандру и Пифагору, не предположили, что безличное основание, в отличие от божественного начала, может отображать суть природы намного более эффективно.
Целью нового истолкования не было упразднение старого. За бессмертными богами в полном объеме оставили все их права и привилегии, включая поклонение им со стороны тех, кто все так же продолжал верить в их существование. И хотя рационалистов часто преследовали, а порой и убивали слишком рьяных верующих, искренне сомневались в существовании богов. Совсем как некоторые современные ученые и математики, многие из рационалистов, похоже, совмещали веру в естественное и сверхъестественное.
Таким образом, рационалисты отличались от более ортодоксальных ученых только умеренной ересью, заключавшейся в утверждении, что природу можно понять через символы менее примитивные, чем антропоморфические божества. Позже они продолжили разрабатывать собственные символические представления о природе. И это тоже была мифология. Когда Фалес утверждал, что «всё есть вода», он был таким же мифотворителем, как тот безымянный индус, который спасал Землю, взгромоздив ее на спину черепахи, пока боги вспенивали океаны. Но с появлением пифагорейцев мифы о природе начали претерпевать радикальную перемену. Они стали постепенно терять личностную составляющую и становились все более и более абстрактными. Приблизительно два с половиной столетия эфемеризации неизбежно достигли своего кульминационного момента в неуловимых идеальных числах, в которых Платон попытался воплотить свои вечные идеи. Эти числа тогда стали окончательной действительностью и окончательной сущностью всего бытия. Дальше абстракции развиваться было некуда. И так же, как их предки убедили себя, что они объяснили всё раз и навсегда, измыслив бессмертных богов, так и Пифагор, и Платон полагали, что они достигли завершенности в своих изысканных мифах.
Эти два мастера мифотворчества определили последующее развитие умозрительных толкований природы физической вселенной. Приблизительно двадцать столетий потребовалось более научно ориентированным пифагорейцам, чтобы в конце концов эволюционировать в классических математических физиков в практичной, рассчитанной на здравый смысл традиции Галилея и Ньютона. Почти ни одному из этих деятельных ремесленников никогда не приходило в голову поинтересоваться, какое значение в вероятной теории знания значит их труд.
Тем временем строго математические пифагорейцы, последователи Платона развились в классических чистых математиков, большая часть которых осталась верной их фундаментальному кредо, что числа были открыты, а не изобретены. Они также приравнивали к божествам законы классической логики и геометрические теоремы.
Общедоступная арифметика и геометрия для платоновского математика сегодня, как и двадцать три столетия назад, являются несовершенной версией идеальной арифметики и идеальной геометрии, которые существуют за пределами человеческих возможностей, они совершенны и бесконечны в царстве вечных идей, навсегда недосягаемые для человеческого познания. Чем могут напоминать земная арифметика и геометрия небесную арифметику и геометрию? Они всего лишь нечеткое отображение Истины, которое ни один математик не станет созерцать. Все же перспектива не полностью обескураживающая. Самоотверженной преданностью поиску чистого знания душа математика сама по себе очищается до такой степени, что в ней, как в зеркале отполированного серебра, арифметика и геометрия проявляются в мимолетных проблесках, как Арифметика и Геометрия. Только когда душа математика полностью свободна от тела, она способна отражать Арифметику и Геометрию ясно и безупречно.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.