Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [125]
Тихое восстание Максвелла также предвещало возвращение Пифагора. Вероятно, никто в 1860-х годах не мог предсказать, что, отвернувшись от одной научной мифологии, физика столкнулась лицом к лицу с другой. Уравнения, которые Максвелл вывел после долгого размышления и скрупулезного изучения экспериментальных исследований Фарадея по электричеству и магнетизму, выводятся простым индуктивным методом из опыта. Индуктивное умозаключение здесь отрицательно. То, что обнаружил Фарадей, теперь знакомо каждому новичку в физике. После многочисленных неудачных попыток создать электрическое поле внутри полого проводника, заряжая внешнюю поверхность проводника, был выдвинут постулат, абстрагированный от опыта, что никакой заряженный полый проводник не может заключать в себе электрическое поле.
Этого постулата достаточно для выведения уравнений Максвелла. Исходя из этого постулата и определенных знаний математики, можно среди многих других явлений предсказать существование электромагнитных волн.
Достаточно искушенные умы способны увидеть в постулате неотъемлемую часть метода, посредством которого разум должен соотнести свое чувственное восприятие «пространства» (в данном случае пустота внутри замкнутой поверхности) с «реальной геометрией» вселенной. Но в настоящее время обычный научный ум расценивает постулат как идеализацию чувственного опыта и полагает, что на него наткнулись как раз в тот момент, когда первые геометры пришли к своим идеальным прямым линиям: путем абстракции от опыта. Однако в отличие от платоновских геометров ортодоксальный физик не воспринимает электрический постулат как тень Вечной идеи. И не приписывает его созданию человеческого разума, как последователи Канта и некоторые современные пифагорейцы.
Четвертый и пятый примеры качественных и количественных научных предсказаний уже были упомянуты, но их стоит упомянуть здесь, поскольку один ускорил возвращение Пифагора, а другой вынудил его задержаться на неопределенное время.
Релятивистская теория гравитационного поля (1915–1916) предсказала (среди многого другого), что линии в спектре света, испускаемого от массивной звезды (например, Солнца), должны быть перемещены к красному концу спектра на расчетное число, в то время как соответствующие линии в спектре света, произведенного в физической лаборатории, не показывают подобного изменения. Предсказание было подтверждено наблюдаемым фактом.
Аналогично для предсказания (1927) ортоводорода и параводорода в соответствии с современной квантовой теорией. Хотя и достаточно сложная, квантовая теория предлагает один из самых простых и наиболее вероятных доказательств, что законы природы могут быть выведены полностью эпистемологическими рассуждениями. Ведь зависимость квантовой теории от эмпирической очевидности ее основных постулатов, несомненно, настолько мала и фактически настолько неуловима, что любой, кто желает не придавать ей значения, может сделать это, никак серьезно не потревожа свою научную совесть.
Факты в этом вопросе похожи на те, что были в случае рождения постулата о электрически заряженном полом проводнике. Один из постулатов в квантовой теории утверждает, что невозможно одновременно измерить точно и импульс, и координаты перемещающейся частицы. Если одно измерение сделано точно, другое обязательно становится соответственно сомнительным или неточным. Они любопытно связаны числовой формулой (еще один постулат), которую нет смысла приводить здесь. Этот «принцип неопределенности» является результатом многочисленных неудач при выполнении или представлении опыта, в котором и импульс, и координаты пытались измерить одновременно.
Нумерология Канта – Пифагора включает эту неспособность вообразить желательный опыт в своих постулатах относительно природы человеческого сознания. Для них это потребность в способе, которым разум должен передать содержание чувственного опыта. Другие классифицируют это как индукцию (умозаключение) от эмпирической очевидности, равную всем научным индукциям. Они отрицают, что чрезвычайно абстрактные общие принципы современной физики не загрязнены наблюдением и опытом, но допускают (как и все остальные), что выводы (дедукция) путем математических рассуждений из этих самых утонченных абстрактных принципов множественны, чаще не соответствуют наблюдениям, а иногда и потрясающе неожиданны. Им также трудно поверить, что возможно получить нечто из ничего, средствами математики или любыми другими средствами, доступными человечеству. С этим пифагорейцы соглашаются, добавляя, что взять следует лишь столько, сколько вложено… разумом.
Без математических формальностей нельзя показать пределы и действенность таких простых постулатов современной физики, как, например: «Если система тел (скажем, скопления звезд) перемещается с постоянной скоростью в некотором направлении, невозможно обнаружить движение наблюдениями, выполненными полностью в пределах самой системы (и поэтому независимо от внешних тел)». Это – один из постулатов специальной теории относительности (частной теории относительности). Знакомая иллюстрация – идеальный железнодорожный вагон, перемещающийся с неизменяющейся скоростью по прямому пути. Если все шторки закрыты, пассажиры не в состоянии определить, находится ли вагон в покое или в движении. Но стоит применить торможение или рельсы уйдут в сторону – ответ будет получен немедленно.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.