Логика - [9]

Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собой его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.

Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события или их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.

По составу различают имена простые, которые не включают других имен (государство), и сложные, включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие. Единичное имя обозначает один объект и бывает предоставлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).

Имена признаков — свойств или отношений — называются предикаторами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т. д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»), Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» — к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).

Предложения — это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.

Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):

1) а, b, с, ... — символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;

2) х, у, z, ... — символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;

3) Р¹, Q¹, R¹, ... — символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;

4) р, q, r, ... — символы для высказываний, которые называют пропозициональными переменными (от латинского propositio — «высказывание»);

5) ∀, Ǝ — символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: ∀ — квантор общности; он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда и т. п.; Ǝ — квантор существования; он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует ит.п.;

6) логические связки:

∧— конъюнкция (связка «и»);

∨— дизъюнкция (связка «или»);

→ — импликация (связка «если..., то...»);

≡ — эквиваленция, или двойная импликация (связка «если, и только если..., то...»);

˥ — отрицание («неверно, что...»).

Технические знаки языка: (,) — левая и правая скобки.

Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т. е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r,... есть ППФ.

2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А¹(х), А²(х, у), А³(х, у, z), Аⁿ(х, у, …, n), где А¹, А², А³, ..., Аⁿ — знаки метаязыка для предикатов.

3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения ⊃хА (х) и Ǝ хА (х) также будут ППФ.

4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

А ∧В,

А ∨В,

А → В,

А ≡ В,

˥А, ˥В

также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1—4, не являются ППФ данного языка.

Язык логики предикатов может быть использован в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое язык? Приведите определение.

2. Какие языки относятся к естественным и какие к искусственным?

3. Что представляет собой язык логики предикатов? Какие знаки (символы) включает алфавит этого языка?

§ 5. ИСТОРИЯ ЛОГИКИ (КРАТКИЙ ОЧЕРК)

Логика, изучающая познающее мышление и применяемая как средство познания, возникла и развивалась как философская наука. Она сформировалась более двух тысяч лет назад, в IV в. до н. э. Ее основателем является древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до н. э.). В своих логических трудах, получивших общее название «Органон» (греч. «орудие, инструмент познания»), Аристотель сформулировал основные законы мышления: тождества, противоречия и исключенного третьего, описал важнейшие логические операции, разработал теорию понятия и суждения, обстоятельно исследовал дедуктивное (силлогистическое) умозаключение. Аристотелевское учение о силлогизме составило основу одного из направлений современной математической логики — логики предикатов.

Важным этапом в развитии учения Аристотеля явилась логика античных стоиков (Зенон, Хрисипп и др.), дополнившая аристотелевскую теорию силлогизма описанием сложных умозаключений. Логика стоиков — основа другого направления математической логики: логики высказываний.