Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [19]
Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G, а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).
А как насчет числа 1/I? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они — «настоящие» бесконечно малые числа — оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом[37]. В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.
Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа — интегрирование и дифференцирование — в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.
В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, — это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.
Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, — например, машину времени, — то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.
Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь традиционными вещественными числами (как целыми, так и нецелыми), мы можем выразить все возможные результаты выстрела из винтовки в реальном мире. Но если мы расширим свой горизонт, включив в рассмотрение и гипервещественные числа, то у каждого выстрела появятся новые возможности. Например, пуля может попасть в гиперудаленную точку, находящуюся на расстоянии I + 3 км от середины стены, хотя вероятность такого попадания может быть выражена бесконечно малым числом порядка 1/I. Однако следует отметить, что эта вероятность не будет нулевой: число 1/I заведомо не равно нулю. Оно больше нуля, хотя и меньше любого положительного вещественного числа. Поэтому мы в некотором смысле можем считать такую вероятность «практически» нулевой. Допустив в свою среду гипервещественные числа, мы начинаем получать результаты столь необычайно редкие, что предвидеть их появление мы никак не можем. Тем не менее они могут появляться, и, если это происходит, такой результат совершенно не похож на результат обычного, повседневного выстрела. Тем из нас, кто вырос на традиционных вещественных числах, такой выстрел, возможность существования которого обеспечивает теорема Гёделя, покажется самым настоящим чудом.
Гёдель, Эйнштейн и фон Нейман
Описывая Джона фон Неймана, историк науки Джейкоб Броновски сказал: «Он был самым умным из известных мне людей, безо всякого исключения. Он был гением»
