Лекции о Лейбнице. 1980, 1986/87 - [21]
Чудо: dy не равно нулю, и более того: dy – конечная величина и она вполне выразима. Это относится к отношениям, и только к отношениям. dx – ничто по отношению к x, dy – ничто по отношению к y, но вот: dy – что-то. Потрясающе, восхитительно: великое математическое открытие!
Оно – что-то, потому что в таком примере, как ax>2 + by + с, у вас две степени, в которые возведены несравнимые величины: x>2 и y. Если вы рассмотрите дифференциальное отношение, то оно не равно нулю, оно детерминированное, оно определенное. Отношение dy дает вам средство сравнивать две несравнимые величины, так как оно оперирует депотенциализацией{ То есть приведением величин, возведенных в разные степени, к одной и той же, первой, степени.} количеств. Стало быть, оно дает вам непосредственное средство для сопоставления несравнимых величин, возведенных в разные степени. Вот с этого момента вся математика, вся алгебра, вся физика будут вписываться в символику дифференциального исчисления… […] Именно это отношение между dx и dy сделало возможной эту разновидность взаимопроникновения между физической реальностью и математическим расчетом.
Существует небольшая трехстраничная заметка, которая называется «Обоснование исчисления бесконечно малых исчислением обыкновенной алгебры». Прочтя ее, вы поймете всё. Лейбниц пытается объяснить, что некоторым образом дифференциальное исчисление функционировало еще до того, как его открыли, и что дела не могли сложиться иначе, даже на уровне самой простой алгебры. [Подробное объяснение Жиля Делёза на доске, с чертежом сделанным мелом: построение треугольников.]
x не равно y ни в одном случае, ни в другом, потому что это противоречило бы самим данным построения проблемы. В той мере, в какой для этого случая вы можете написать x = с, y = e, c и e равны нулю.
Как говорит Лейбниц на своем языке, и то и другое – ничто, но не абсолютно, а относительно. То есть это такие ничто, которые сохраняют различие в отношениях. Следовательно, c остается равным e, так как оно остается пропорциональным x, а x не равно y.
Таково обоснование старого дифференциального исчисления, и интерес этого текста состоит в том, что здесь дано обоснование посредством простой, или обыкновенной, алгебры. Это обоснование совершенно не ставит под сомнение специфичность дифференциального исчисления.
Я читаю этот прекрасный текст: «Итак, в данном случае будет x – c = x. Предположим, что этот случай подчиняется общему правилу; тем не менее c и e не будут ничто в абсолютном смысле, потому что они вместе сохраняют отношение cx : xy, или отношение между целым синусом или лучом и касательной, которая касается угла в точке c, и угол этот, как мы предположили, всегда остается одним и тем же. Ибо если бы c и e были ничто в абсолютном смысле, в этом исчислении, в случае совпадения точек c, e и a, так как все ничто равны друг другу, то c и e были бы равны друг другу, а уравнение, или аналогия, x = c, имело бы вид x = 0 = 1. А y = e имело бы вид y = 0. А это все равно что сказать x = y, что было бы нелепостью».
«Итак, в алгебраическом исчислении мы находим следы трансцендентного исчисления различий (то есть дифференциальное исчисление), и сами его сингулярности, в каких некоторые ученые сомневаются, и даже алгебраическое исчисление не могли бы обойтись без этого, так как здесь сохраняются все преимущества, и одно из наиболее значительных – общий характер этого исчисления, дабы оно могло охватывать все случаи».
Точно так же я могу считать, что состояние покоя есть бесконечно малое движение или что круг есть предел бесконечного ряда многоугольников, количество сторон которых до бесконечности увеличивается. Что является сравнимым во всех этих примерах? Необходимо рассмотреть случай, где имеется один-единственный треугольник, как крайний случай двух подобных треугольников, у которых противостоят вершины. Здесь вы почувствуете, что, может быть, мы движемся к тому, чтобы наделить «виртуальное» искомым смыслом. Я мог бы сказать, что в случае с моей второй фигурой, где имеется лишь один треугольник, другой треугольник присутствует, но лишь виртуально. Он присутствует виртуально, потому что a виртуально содержит e и c, отличные от a. Почему же e и c остаются отличными от a, если они уже не существуют? e и c остаются отличными от a, когда они не существуют, потому что они входят в отношение – а оно-то продолжает существовать, когда его члены исчезли! Точно на том же основании покой будет рассматриваться как частный случай движения, а именно – как бесконечно малое движение. Относительно моей второй фигуры, xy, я бы сказал, что треугольник CEA отнюдь не исчез в обычном смысле слова, однако надо сказать, что теперь его невозможно построить, и все-таки он является вполне детерминированным, так как в этом случае с = 0, e = 0, но а не равно нулю.
c – это совершенно детерминированное отношение, равное x. Стало быть, оно является детерминируемым и детерминированным, но назначить его невозможно. Точно так же покой есть совершенно детерминированное движение, но назначить это движение невозможно; точно так же круг есть многоугольник, который невозможно задать, но все-таки вполне детерминированный. Вы видите, что означает «виртуальное». Виртуальное теперь отнюдь не означает «неопределенное» – и сюда можно привлечь все тексты Лейбница. Ни слова не говоря, он проделал дьявольскую операцию – это его право, – он дал слову «виртуальное» новое значение, вполне неукоснительное, но не сказал об этом ни слова. Он скажет об этом в других текстах: «виртуальное» теперь не означает «стремящееся к неопределенному», это означает «не назначаемое (inassignable){ То есть «не допускающее точного определения».}, но все-таки детерминированное». Эта концепция виртуального сразу и очень новая, и очень строгая. Еще надо было бы иметь технику и понятия, чтобы наделить смыслом выражение, поначалу слегка таинственное: не назначаемое, но все-таки детерминированное. Оно не назначаемо, так как
