Квантовая магия - [99]

Согласно подходу, принятому в статистической физике[153], в рассматриваемом объекте обычно выделяется достаточно малая, но еще макроскопическая подсистема. Она не является замкнутой и испытывает всевозможные воздействия со стороны остальных частей системы. Однако именно в силу сложности и запутанности внешних воздействий выделенная подсистема за достаточно большой промежуток времени многократно побывает во всех своих возможных состояниях. Поэтому, устремляя время на бесконечность, можно ввести величину p, которая характеризовала бы вероятность нахождения системы в определенном состоянии. Вводится она как предел отношения Δt к , при Т → ¥, где Δt — та часть полного времени Т, в течение которого подсистема находилась в данном состоянии.

С учетом «почти непрерывности» энергетического спектра макроскопических тел обычно вводится квантовый аналог классического элемента фазового объема — число квантовых состояний dΓ замкнутой системы, приходящихся на определенный, бесконечно малый интервал значений ее энергии. Тогда вероятность состояний, лежащих в данном интервале энергии, записывают в виде = ρ dΓ. Функция ρ в аналогичном выражении классической статистики характеризует плотность распределения вероятности в фазовом пространстве и называется функцией статистического распределения (или просто функцией распределения) данного тела. В квантовой статистике ее заменяет матрица плотности в энергетическом представлении (статистическая матрица). Нахождение статистического распределения и является основной задачей статистики, поскольку знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Матрица плотности в энергетическом представлении вводится следующим образом. Выделенная нами подсистема на протяжении малого промежутка времени является квазизамкнутой, поскольку ее внутренняя энергия намного больше энергии взаимодействия с другими подсистемами. Поэтому появляется возможность ввести понятие стационарных состояний, которые получаются при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Обозначим через φ_n(q) полный набор ортонормированных волновых функций этих состояний, где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс n — совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния с энергией . Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некоем полно описанном состоянии с волновой функцией Ψ. Ее можно разложить по функциям φ_n(q) и с их помощью найти среднее значение любой физической величины. Переход от полного описания подсистемы к неполному, осуществляемому посредством матрицы плотности, можно рассматривать как усреднение по ее различным состояниям. В результате такого усреднения получается двойной (по двум индексам) набор некоторых величин ρ_nm, которые и являются элементами матрицы плотности в энергетическом представлении.

Вероятность нахождения подсистемы в n-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу ρматрицы плотности. Дальнейшие рассуждения позволяют сделать вывод, что исходное требование статистической независимости подсистем эквивалентно требованию матрицы ρ_nm, или, точнее, по мере уменьшения роли взаимодействий подсистем друг с другом, недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Задача определения статистического распределения, таким образом, сводится к вычислению вероятностей ρ_n = ρ.

В квантовой статистике доказывается еще одно важное утверждение: статистическое состояние системы зависит только от ее энергии, и вероятности ρ_n могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии ρ_n = ρ().

Следовательно, квантовая статистика позволяет, в принципе, исходя из одной только энергетической характеристики объекта, вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Одно из основных условий применимости методов квантовой статистики — наличие у макроскопического объекта «почти непрерывного» энергетического спектра. Этому условию удовлетворяют не только тела, описываемые системой взаимодействующих частиц, но и объекты, моделируемые системой квантовых полей. При этом появляется возможность описать не только внутренние свойства макроскопических объектов (иными словами, ограничиться решением предыдущей задачи с частицами в виде локальных полей), но и взаимодействие отдельных тел, поскольку каждое из них будет обладать нелокальными макроскопическими характеристиками, связанными с наличием дальнодействующих полей.

Чтобы сделать очередной шаг, связывающий статистическую физику и квантовую теорию поля, воспользуемся понятием статистического равновесия. Если в замкнутой макроскопической системе среднее значение полной энергии произвольной подсистемы и самой системы в целом имеют минимальное значение, то говорят, что она находится в состоянии статистического равновесия. Это утверждение является следствием того, что замкнутая система при достаточно большом времени наблюдения находится в состоянии, при котором макроскопические физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям. Если в начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, испытывала внешнее воздействие, после чего вновь стала замкнутой), то в дальнейшем она должна перейти в состояние равновесия. Промежуток времени, в течение которого происходит переход к статистическому равновесию, называется временем релаксации. Под достаточно большим временем наблюдения подразумеваются большие, по сравнению со временем релаксации, времена.