Красота в квадрате - [16]

₁, a₂, a₃ … a₁₀₀), а у меня — числа (b₁, b₂, b₃ … b₁₀₀). Мы знаем, что если числа Теда удовлетворяют закону Бенфорда, то результат умножения его чисел на мои (a₁ × b₁, a₂ × b₂, a₃ × b₃ … a₁₀₀ × b₁₀₀) также подчиняется этому закону. Следовательно, если мы умножим эти числа на еще один набор случайно выбранных чисел (c₁, c₂, c₃ … c₁₀₀), для того чтобы получить еще один массив чисел (a₁ × b₁ × c₁, a₂ × b₂ × c₂, a₃ × b₃ × c₃ … a₁₀₀ × b₁₀₀ × c₁₀₀), этот массив тоже будет соответствовать закону Бенфорда. Дело в том, что, сколько бы массивов данных мы ни умножали друг на друга, достаточно, чтобы хотя бы один из них удовлетворял закону Бенфорда, для того чтобы этому закону подчинялся и массив результатов умножения. Другими словами, закон Бенфорда настолько зарази­телен, что наличие в мультипликативной цепочке единственного массива данных, удовлетворяющего ему, влияет на общий результат. Поскольку многие явления (такие как цены акций, численность населения, длина рек и т. д.) формируются под воздействием повышения или снижения различных показателей, обусловленного множеством независимых случайных факторов, это объясняет широкую распространенность неравномерного распределения первых цифр.

Самая известная теорема Теда Хилла гласит:

Если взять случайные выборки из случайным образом выбранных массивов данных, то чем больше количество массивов и выборок, тем ближе к закону Бенфорда будет распределение первых цифр в смешанной выборке.

Эта теорема позволяет определить, когда может иметь место закон Бенфорда. «Если предположение о том, что несмещенные случайные выборки взяты из случайных распределений верно, тогда эти данные должны полностью подчиняться закону Бенфорда», — утверждает Тед. Этот вывод объясняет, почему газеты так хорошо иллюстрируют действие закона первой цифры. Числа, которые появляются в новостях, — это, по сути, произвольные выборки, взятые из случайных массивов данных, таких как цены акций, температура воздуха, распределение голосов во время выборов или результаты лотереи. Хотя многие из этих массивов данных могут не удовлетворять закону Бенфорда, чем больше массивов мы проанализируем и чем больше выборок включим в анализ, тем ближе к распределению Бенфорда будет смешанная выборка. Если продолжать процесс до бесконечности, смешанные выборки будут подчиняться закону Бенфорда с точностью до 100 процентов.

Я спросил Теда, есть ли у его теоремы простое интуитивное объяснение. В ответ он покачал головой. Тед доказал эту теорему, применив эргодическую теорию — передовую область науки, которая представляет собой сочетание теории вероятности и статистической физики и изучается только в аспирантуре. Несмотря на достаточно понятную формулировку, у теоремы нет простого доказательства. «Во всяком случае, такое доказательство не обнаружено», — поясняет Тед.

Тем не менее работа Теда Хилла дает математическое обоснование для использования закона Бенфорда при рассмотрении судебных дел. Впоследствии к Теду начали обращаться за советом ученые, которые хотели знать, соответствуют ли их данные закону первой цифры. По словам Хилла, самая необычная просьба поступила от одной христианской организации. В ней обнаружили, что процентное содержание различных минералов в морской воде и земной коре подчиняется закону Бенфорда. Это открытие так порази­ло и удивило ее членов, что, по их словам, это мог быть только продукт разум­ного замысла. Так не согласится ли Тед выступить в рамках их кампании за преподавание учения о сотворении мира в техасских школах?

Теду нравилось выискивать примеры действия закона Бенфорда в чистой математике.

Последовательность, каждый член которой в два раза больше предыдущего:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

Последовательность, каждый член которой в три раза больше предыдущего:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19 683…

Последовательность, каждый член которой поочередно умножается на два и на три:

1, 2, 6, 12, 36, 72, 216, 432, 1296, 2592, 7776, 15 552…

Все эти последовательности подчиняются закону Бенфорда.

То же самое можно сказать и о последовательности чисел Фибоначчи, в которой каждое следующее число представляет собой сумму двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Чем больше членов последовательности вы анализируете, тем ближе распределение первых цифр чисел, входящих в нее, к распределению Бенфорда.

Тед также доказал, что любая последовательность, которая начинается со случайного числа и формируется по принципу «удвоить и прибавить 1», соответствует закону Бенфорда. То же самое касается и любой последовательности, начинающейся с произвольного числа и формирующейся по принципу «возвести в квадрат». Но, когда Тед приступил к анализу последовательности чисел, построенной по принципу «возвести в квадрат и прибавить 1», он обнаружил нечто неожиданное.

«С какого бы числа ни начиналась такая последовательность, она почти всегда подчиняется закону Бенфорда. Однако при некоторых исходных числах этого не происходит, причем найти эти числа довольно трудно. Сперва мне казалось, что их нет. Я думал: “Этого не может быть! Это просто невозможно!” Но мы все же нашли одно число, обладающее поразительным свойством: когда оно является первым членом последовательности, в которой каждый следующий член на единицу больше квадрата предыдущего, то каждое число такой последовательности начинается с цифры 9. Это просто невероятно. Это сбой в системе».