Компьютерра, 2006 № 01-02 (621-622) - [38]
Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин – от Солнца. На самом деле, конечно, топология – очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна – ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).
Другое важное понятие – гомеоморфизм – также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм – это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин – в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера – поверхность трехмерного шара).
Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.
История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, – препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ,http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.
В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава – тяготит.
Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана [См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.
Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки – теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность – сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
