Исследование психологии процесса изобретения в области математики - [44]

Но есть исключения, хотя я, пожалуй, не прав, называя это исключениями, так как иначе исключения оказались бы более многочисленными, чем правила. Напротив, это Гаусс был исключением. Что касается меня, то я вынужден признать свою совершенную неспособность выполнить сложение без ошибки. Я был бы также очень плохим шахматистом; я мог бы хорошо рассчитать, что, совершив такой-то ход, я подвергся бы такой-то опасности; я рассмотрел бы много других ходов, которые я отбросил бы по другим причинам, и кончил бы тем, что совершил бы рассмотренный ход, забыв между делом об опасности, которую я раньше предвидел.

Одним словом, у меня неплохая память, но она недостаточна, чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же она меня не подводит в трудном математическом рассуждении? Это, очевидно, потому, что она руководствуется общей линией рассуждения. Математическое рассуждение не есть простая совокупность силлогизмов; это силлогизмы, помещённые в определённом порядке, и порядок, в котором эти элементы расположены, гораздо более важен, чем сами элементы. Если я чувствую этот порядок, так что вижу всё рассуждение в целом, то мне не страшно забыть один из элементов: каждый из них встанет на место, которое ему приготовлено, причём без всякого усилия со стороны памяти. Когда я изучаю некоторое утверждение, мне кажется, что я мог бы сам его открыть, или, вернее, если это иллюзия и я недостаточно силён, чтобы открыть его, я переоткрываю его во время изучения.

Отсюда можно сделать вывод, что это интуитивное чувство математического порядка, которое позволяет нам угадать гармонию и скрытые соотношения, доступно не всем людям. Одни не способны к этому деликатному и трудному для определения чувству и не обладают памятью и вниманием сверх обычных; и они совершенно неспособны понимать серьёзную математику; таковых большинство. Другие обладают этим чувством в малой степени, но они имеют хорошую память и способны на глубокое внимание. Они запомнят наизусть детали одну за другой, они смогут понять математику и иногда её применять, но они неспособны творить. Наконец, третьи в большей или меньшей степени обладают той специальной интуицией, о которой я говорил, и они могут не только понимать математику, но и творить в ней и пытаться делать открытия с большим или меньшим успехом в зависимости от степени развития этой интуиции, несмотря на то, что их память не представляет собой ничего особенного.

Что же такое в действительности изобретение в математике? Оно состоит не в том, чтобы создавать новые комбинации из уже известных математических фактов. Это мог бы делать любой, но таких комбинаций было бы конечное число, и абсолютное большинство из них не представляло бы никакого интереса. Творить это означает не создавать бесполезных комбинаций, а создавать полезные, которых ничтожное меньшинство. Творить — это уметь распознавать, уметь выбирать.

Как делать этот выбор, я объяснял в другом месте: математические факты, которые заслуживают того, чтобы быть изученными, — это такие, которые по своей аналогии с другими фактами могут нас подвести к познанию математического закона, подобно тому, как экспериментальные факты подводят нас к познанию физического закона. Это такие факты, которые открывают нам связь между другими законами, известными уже давно, но ошибочно считавшимися не связанными друг с другом.

Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто оказываются те, которые составлены из элементов, взятых из очень далёких друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для того, чтобы сделать открытие, достаточно сопоставить как можно более разношёрстные факты; большинство комбинаций, образованных таким образом, были бы совершенно бесполезны, но зато некоторые, хотя и очень редко, бывают наиболее плодотворными из всех.

Я уже говорил, что изобретение — это выбор; впрочем, это слово, может быть, подобрано не совсем точно, — здесь приходит в голову сравнение с покупателем, которому предлагают большое количество образцов товаров, и он исследует их один за другим, чтобы сделать свой выбор. В математике образцы столь многочисленны, что всей жизни не хватит, чтобы их исследовать. Выбор происходит не таким образом. Бесплодные комбинации даже не придут в голову изобретателю. В поле зрения его сознания попадают лишь действительно полезные комбинации и некоторые другие, имеющие признаки полезных, которые он затем отбросит.

Всё происходит так, как если бы учёный был экзаменатором второго тура, который должен экзаменовать лишь кандидатов, успешно прошедших испытания в первом туре. Но всё то, что я до сих пор говорил, можно заметить или заключить, лишь достаточно вдумчиво вчитываясь в труды по математике.

Настало время продвинуться немного вперёд и посмотреть, что же происходит в самой душе математика. Я полагаю, что лучшее, что можно для этого сделать, это привести собственные воспоминания. Я припомню и расскажу вам, как я написал первую свою работу об автоморфных функциях. Я прошу прощения за то, что буду вынужден употреблять специальные термины, но это не должно вас пугать, так как вам их понимать совсем необязательно. Я, например, скажу, что при таких-то обстоятельствах нашёл доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит варварское название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства.