Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [61]
25 – 10t
Вот почему это так: предположим, мы хотим вычислить скорость в момент t. Посмотрим, какое расстояние яблоко пролетит за малый промежуток времени после t, скажем, от момента t до момента t + d.
(25(t + d) – 5(t + d)>2) – (25t – 5t>2) = 25 t + 25d – 5t>2 – 10td – 5d>2 – 25t + 5t>2 = 25 d – 10td – 5d>2
Теперь разделим на величину временного интервала d:
Если взять чрезвычайно малую величину d, скорость будет равна
25 – 10t
Это выражение называется производной функции 25t – 5t>2. Этот хитроумный алгоритм берет формулу расстояния, пройденного за некоторое время, и выдает новую формулу, позволяющую определить скорость в любой момент времени. Достоинство этого инструментария в том, что он применим не только к яблокам и космическим кораблям. Он позволяет анализировать любые процессы с непрерывными изменениями.
Производителю важно знать стоимость создания новой продукции, чтобы установить цену, которая будет обеспечивать прибыль. Вначале себестоимость продукции будет очень высокой из-за расходов на оборудование производства, наем работников и так далее. Но по мере производства все больших ее объемов себестоимость каждого следующего изделия будет изменяться. Вначале она будет снижаться, потому что производство этой продукции будет становиться все более экономичным. Но если чрезмерно увеличить объемы производства, стоимость продукции снова может вырасти. Увеличение производства рано или поздно приводит к работе в сверхурочное время, использованию менее производительных старых предприятий, конкуренции за дефицитное сырье и тому подобному. В результате стоимость дополнительных изделий увеличивается.
Это несколько похоже на подбрасывание в воздух мяча: сначала мяч летит быстро, но с каждой следующей секундой замедляется и пролетает все меньшее расстояние. Математический анализ может помочь производителю понять, как себестоимость продукции изменяется с изменениями объема производства, и найти оптимальную точку, то есть узнать, сколько нужно производить, чтобы себестоимость была наименьшей.
Открытый Ньютоном шорткат к пониманию подвижного мира положил начало современной науке. Я считаю Ньютона, как и Гаусса, одним из величайших мастеров шортката всех времен. Я даже совершил паломничество в поместье Вулсторп, где, как рассказывают, Ньютон сидел под яблоней, вдохновившей его на создание этого гениального шортката. К моему удивлению, дерево все еще было на месте! Мой экскурсовод позволил мне взять два его яблока, и из одного из их семечек мне удалось вырастить яблоню в своем саду. Под этим деревом я сижу долгими часами, надеясь найти шорткат, который приведет меня к решению задачи, над которой я сейчас работаю.
Гаусс, как и я, был горячим поклонником работ Ньютона. «Было всего три математика эпохального значения, – писал он, – Архимед, Ньютон и Эйзенштейн». Последнее имя – не опечатка. Речь идет о Готтхольде Эйзенштейне[89], молодом прусском ученом, занимавшемся теорией чисел. Он произвел на Гаусса столь сильное впечатление тем, что решил несколько задач, которые тот не смог решить сам.
К истории о яблоке, якобы бывшем ключом к открытиям Ньютона, Гаусс всегда относился довольно скептически. «История с яблоком слишком абсурдна, – писал он. – Падало ли яблоко или не падало, как можно поверить, что это могло ускорить или задержать такое открытие? Несомненно, на самом деле произошло нечто вроде следующего. Какой-нибудь назойливый глупец пришел к Ньютону и стал расспрашивать его, как он сделал свое великое открытие. Когда Ньютон увидел, с каким олухом он имеет дело, и захотел от него избавиться, он сказал, что ему на нос упало яблоко; тому все стало совершенно ясно, и он ушел, удовлетворенный».
Ньютон действительно не слишком заботился о пропаганде своих идей. Для него математический анализ был не столько средством оптимизации решений, сколько личным инструментом, помогшим ему прийти к выводам, которые он изложил в «Математических началах натуральной философии» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), великом труде, описывавшем его идеи относительно гравитации и законов движения, которые он опубликовал в 1687 году. Он объяснял, что его анализ был ключом к научным открытиям, содержавшимся в этой книге: «Г-н Ньютон нашел бо́льшую часть тезисов, изложенных в “Началах”, при помощи этого нового Анализа».
Он любил довольно высокопарно говорить о себе в третьем лице, но так и не опубликовал никакого изложения «нового анализа». Вместо этого он частным образом распространял его идеи среди своих друзей, не ощущая потребности представлять их на всеобщее обозрение. Последствия того, что Ньютон отказывался официально публиковать свои идеи, оказались весьма неприятными. Потому что через несколько лет после открытия Ньютона математический анализ разработал и другой математик – Готфрид Лейбниц. И удобство этого средства для оптимизации сделали очевидным именно его методы.
