Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [52]
Рис. 5.5. Локсодрома идет под постоянным углом к меридианам
Такая проекция сферы на прямоугольник называется конформным отображением, потому что она сохраняет углы. Добиться этого можно следующим образом. Представим себе, что Земля – это воздушный шарик, вся поверхность которого покрыта невысохшими чернилами. Обернем вокруг Земли цилиндр так, чтобы он прикасался к экватору. Теперь начнем надувать Землю так, чтобы по мере раздувания шарика ее поверхность постепенно приходила в соприкосновение с цилиндром, а чернила отпечатывали на нем карту.
Развернем цилиндр – и у нас получится карта. Таким способом невозможно изобразить на карте полюса, так что на верхнем крае карты оказывается параллель, близкая к полюсу[74]. Такая карта все сильнее растягивает параллели по мере продвижения на север или на юг от экватора. Для тех, кто был в море, она была великолепным инструментом, к чему, видимо, и стремился Меркатор, ибо он дал своей карте следующее название: «Новое и более полное описание земного шара, должным образом приспособленное для использования в навигации» (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata, 1569).
Хотя на этой карте сохраняются углы между линиями, проведенными на глобусе, этого не происходит с площадями и расстояниями. И это обстоятельство имело очень важные политические последствия. Карта была настолько полезна, что в течение столетий она оставалась общепризнанным представлением о том, как выглядит наша планета. Но на ней чрезвычайно сильно преувеличено место, которое занимают страны, удаленные от экватора, – к примеру, Нидерланды и Великобритания. Например, если начертить круг на экваторе и другой круг такого же размера в Гренландии, в проекции Меркатора площадь второго круга увеличится в десять раз. Скажем, Африка на карте имеет те же размеры, что и Гренландия, хотя на самом деле она в 14 раз больше по площади.
Карта Меркатора противоречила политическим соображениям постколониальной эпохи, и вместо нее ЮНЕСКО приняло в качестве официальной альтернативную проекцию, которая называется проекцией Галла – Петерса. Эту карту широко используют в британских школах, но в школах Соединенных Штатов – в Бостонском школьном округе – она заменила карту Меркатора лишь в 2017 году. Многие другие американские школьные округа так и не последовали этому примеру. Многим гражданам Соединенных Штатов кажется, что уменьшение размеров США не согласуется с тем местом, которое их страна занимает на мировой арене.
По правде говоря, в любой карте неизбежны компромиссы. Собственно говоря, это обстоятельство открыл Гаусс, когда исследовал природу кривизны разных геометрий. Он назвал свое открытие «Theorema Egregium», то есть «Замечательной теоремой»: в ней он доказал, что плоской картой невозможно обернуть сферический глобус без искажения расстояний. На любой карте планеты приходится жертвовать чем-нибудь. Карта Галла – Петерса точно отражает площади, но не формы стран. Длина Африки получается вдвое большей ее ширины, тогда как на самом деле форма этого континента ближе к квадратной.
Разумеется, на большинстве карт Северное полушарие всегда находится вверху, а Южное – внизу. Но сферы симметричны, так что нет никаких причин, по которым карта не может быть ориентирована наоборот. Выбор ориентации опять-таки отражает то обстоятельство, что карты составляли обитатели Северного полушария.
Австралиец Стюарт Макартур решил противопоставить такому перевесу севера свою собственную карту, в которой Южное полушарие находится наверху. Тех, кто видит ее в первый раз, эта карта приводит в сильное замешательство. Кажется, что в ней что-то не так. Но это всего лишь показывает, насколько мы привыкли видеть планету с точки зрения Меркатора.
Самое главное в карте – то, чего мы хотим добиться с ее помощью. Нужен шорткат для навигации? Шорткат к пониманию размеров территории? Чаще всего на картах стараются точно воспроизвести какие-нибудь геометрические параметры. Например, размеры на карте могут соответствовать размерам на планете. Или же могут совпадать углы между линиями. Но бывает и так, что карта отбрасывает все эти полезные вещи и сохраняет лишь информацию, самую важную для перемещения из пункта А в пункт Б.
Одна из карт, которые я люблю больше всего и использую ежедневно, – это схема лондонского метро. Физическая карта, на которой показано географическое расположение станций и линий метро, не очень-то помогает перемещаться по городу. Вместо этого легендарная схема Гарри Бека, опубликованная в 1933 году, показывает, как связаны элементы этой сети, игнорируя физические расстояния. Эта карта была настолько революционной, что поначалу компания, управлявшая метрополитеном, ее отвергла. Проблема, однако, состояла в том, что компания несла убытки, так как лондонцы не пользовались ее системой. Когда попытались выяснить, почему это происходит, оказалось, что пассажиры просто не могли разобраться в сети. Карты, разработанные компанией, пытались воспроизводить географию города, но в результате получалась невразумительная, запутанная мешанина линий, в которой было трудно что-либо понять.
