Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [25]
Но практические возможности, которые давало это открытие, осознал один из соотечественников Герца. Кристиан Хюльсмайер получил в Германии и Британии патенты на электромагнитное устройство[33], которое, по его мнению, могло помочь кораблю обнаруживать наличие других судов в условиях плохой видимости – например, в тумане. Утверждается, что стремление создать такой прибор возникло у него после того, как он увидел мать, скорбевшую о смерти сына, который погиб при столкновении двух морских судов.
Он продемонстрировал свое изобретение в опыте, поставленном на мосту через Рейн 18 мая 1904 года. Прибор обнаруживал присутствие корабля, спускавшегося по реке, как только тот оказывался в радиусе трех километров. Однако это изобретение опередило свое время, в частности потому, что оно не производило математических вычислений, позволяющих определить, на каком расстоянии находится другое судно и в каком направлении оно движется. В течение еще нескольких лет эта идея интересовала только писателей-фантастов вроде Жюля Верна. Для ее практического воплощения потребовались десятилетия и мировая война.
Вопрос о том, кто именно изобрел радар, название которого получилось из сокращения английских слов radio detection and ranging (радиообнаружение и измерение дальности), остается нерешенным. Разработка таких систем в разных странах в преддверии войны велась в условиях строжайшей тайны, потому что любая страна, успешно внедрившая эту идею, получила бы преимущество в области обнаружения вражеских самолетов. Однако не вызывает сомнений, что одним из первопроходцев этой технологии был шотландский физик Роберт Уотсон-Уотт. Его попросили прокомментировать слухи о «лучах смерти», якобы созданных в Германии на основе радиоволн. Он быстро показал абсурдность этой идеи, но она побудила его заняться исследованием реальных возможностей радиоволновых технологий. Он продемонстрировал, что совместное использование расчетов и радиосигналов позволяет отслеживать перемещение приближающихся самолетов, и это привело к созданию системы радиолокационных станций для обнаружения самолетов, подлетающих к Лондону со стороны Северного моря. Принято считать, что именно радарная сеть Уотсона-Уотта дала Королевским ВВС решающее преимущество в Битве за Британию.
При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.
Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2>х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):
e>iπ + 1 = 0
Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.
Поэтому математики поняли, что можно не заниматься сложными вычислениями волновых функций, а упростить и ускорить расчеты, объединив все их элементы при помощи мнимых чисел. Благодаря использованию этих странных чисел вычисления свелись к расчетам показательных функций, которые можно было выполнить быстро и рационально. Даже сегодня авиадиспетчеры, в распоряжении которых имеется необычайная мощь современных компьютеров, используют для обнаружения самолетов и их сопровождения при посадке в аэропортах всего мира тот же самый шорткат через мнимые числа. Не будь его, самолеты падали бы на землю еще до завершения вычислений их местоположения.
Этот пример наглядно иллюстрирует утверждение Поля Пенлеве о том, что «самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую».
Двоичное, и не только
Один из других шорткатов, которые участвуют в рационализации компьютерных вычислений, – это применение чрезвычайно экономичной системы записи чисел. Как мы уже видели, десять символов десятичной системы счисления – не единственный вариант представления чисел. Для выражения чисел можно выбрать степени любого числа, не только десяти, как в десятичной системе. Вавилоняне использовали символы для записи чисел от 0 до 59 и работали с системой счисления на основе 60. У майя были символы для чисел от 0 до 19, а в созданной ими системе счисления использовались степени двадцати. Выбор числа 10 в качестве основы для наших чисел сводится всего лишь к капризу анатомии, снабдившей нас десятью пальцами на руках.
Знаменитый оксфордский профессор и популяризатор науки Маркус дю Сотой исследует природу творчества, освещая наиболее важные аспекты работы алгоритмов и математических правил, которые лежат в их основе. Он задается вопросом, насколько наш эмоциональный отклик на произведения искусства обусловлен реакцией мозга на закономерности и структуры и что именно означает заниматься творчеством в математике, изобразительном искусстве, литературе и музыке. На основе ярких примеров того, как «поверяется алгеброй гармония» мировых шедевров, среди которых «Евгений Онегин» Пушкина, «Песнь льда и пламени» Джорджа Р.
«Хотя эта книга посвящена тому, чего мы знать не можем, также очень важно понять, что мы знаем. В этом путешествии к пределам знаний мы пройдем через области, уже нанесенные учеными на карты, до самых пределов последних на сегодняшний день достижений науки. В пути мы будем задерживаться, чтобы рассмотреть те моменты, когда ученые считали, что зашли в тупик и дальнейшее продвижение вперед невозможно, но следующее поколение исследователей находило иные пути. Это позволит нам по-новому взглянуть на то, что мы сегодня можем считать непознаваемым.
«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.
Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.
Канадский ученый, эколог и политолог Вацлав Смил знаменит своими работами о связи энергетики с экологией, демографией и реальной политикой, а также виртуозным умением обращаться с большими массивами статистических данных. Эта книга, которая так восхитила Билла Гейтса, обобщает самые интересные материалы, которые Смил пишет для журнала IEEE Spectrum – одного из ведущих научно-инженерных изданий мира, и представляет собой актуальное руководство для понимания истинного положения дел на нашей планете.
Наша сегодняшняя жизнь перенасыщена информацией, однако большинство людей все же не знают, как на самом деле устроен наш мир. Эта книга освещает основные темы, связанные с обеспечением нашего выживания и благополучия: энергия, производство продуктов питания, важнейшие долговечные материалы, глобализация, оценка рисков, окружающая среда и будущее человека. Поиск эффективного решения проблем требует изучения фактов — мы узнаем, например, что глобализация не была неизбежной и что наше общество все сильнее зависит от ископаемого топлива, поэтому любые обещания декарбонизации к 2050 году — не более чем сказка.
Сочинение итальянского дипломата, писателя и поэта Бальдассаре Кастильоне (1478–1529) «Придворный», соединяющее воспоминания о придворной жизни герцогства Урбино в начале XVI века с размышлениями о морали, предназначении, стиле поведения дворянина, приближенного к государю, – одна из тех книг эпохи Возрождения, что не теряли популярности на протяжении последующих веков и восхищали блестящие умы своего и будущих столетий. Для истории культуры труд Кастильоне явился подлинной сокровищницей, и сложно представить, насколько более скудными оказались бы знания потомков об эпохе Возрождения, не будь он создан. Составленное в виде сборника занимательных и остроумных бесед, это ярко и непринужденно написанное произведение выходит за рамки источника сведений о придворных развлечениях своего времени и перечня достоинств совершенного придворного как всесторонне образованного и утонченно воспитанного человека, идеального с точки зрения гуманистических представлений.
«Эта книга посвящена захватывающей и важной для любого человека теме – осознанию себя как части общества и рассмотрению самого феномена общества под лупой эволюционных процессов в животном мире. Марк Моффетт сравнивает человеческое общество с социальными образованиями общественных насекомых, и эти сравнения вполне уместны. И его последующий интерес к устройству социальных систем у широкого круга позвоночных, от рыб до человекообразных обезьян, не случаен. Как эволюциониста, его интересы связаны с выявлением причин и факторов, влияющих на трансформации социального поведения у разных таксонов, роли экологии в усложнении общественных связей, с поиском связей между морфологическими и психологическими преобразованиями, в конечном итоге приведших к возникновению нашего вида.