Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [21]

Вот что он писал в книге, посвященной этому шорткату:

Видя, что ничто, о любезные исследователи математики, не мешает математическим занятиям, а также не досаждает и не стесняет вычислителей более, нежели операции умножения, деления и извлечения квадратов и кубов больших чисел, кои не только отнимают непомерное время, но и бывают по большей части подвержены многим коварным ошибкам, начал я рассуждать в уме своем о том, какими надежными и удобными средствами смог бы я устранить такие затруднения.

В результате Непер открыл способ, превращающий трудную задачу перемножения двух больших чисел в гораздо более простую операцию сложения. Какую из следующих операций вы выполнили бы вручную быстрее:

379 472 × 565 331

или

5,579179 + 5,752303?

Секрет этого волшебного превращения заключается в логарифмической функции. Функция подобна маленькой математической машине, которая берет одно число, а затем преобразует его в соответствии с внутренними правилами этой функции и выдает на выходе другое. Логарифмическая функция берет число и выводит то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить исходное[25]. Например, если ввести в логарифмическую функцию число 100, на выходе получим 2, потому что при возведении 10 в степень 2 получается 100. Если ввести в логарифмическую функцию миллион, на выходе получится 6, потому что миллион – это 10 в 6-й степени.

Использовать логарифмическую функцию становится несколько сложнее, когда в нее вводишь числа, отличные от явных степеней 10. Например, чтобы получить число 379 472, нужно возвести 10 в степень 5,579179. Чтобы получить число 565 331, 10 возводят в степень 5,752303. Таким образом, как и в случае многих других шорткатов, для использования этого нужно проделать большую предварительную работу. Непер потратил много часов на подготовку таблиц, в которых можно найти логарифмы разных чисел, но, когда эти таблицы были готовы, шорткат заработал в полную силу.

Потому что, если у вас есть два числа, выраженные в виде степеней 10, например, 10^a и 10^b, перемножить их очень просто. Их произведение равно 10^a+b. То есть можно не заниматься тяжелой работой по перемножению 379 472 × 565 331, а сложить логарифмы этих чисел – 5,579179 + 5,752303 = = 11,331482 – а затем найти значение 10^11,331482 в таблицах, которые подготовил Непер.

Идея применения вычислительных таблиц для ускорения арифметических операций была не нова. Кажется даже, что некоторые из клинописных табличек древних вавилонян применялись именно для этого. В них для перемножения больших чисел была задействована другая формула. Если взять два больших числа A и B, то алгебраическое соотношение

A × B = 1/4 × {(A + B)² – (A – B)²}

заменяет умножение вычитанием двух квадратов. Хотя такие алгебраические обозначения появились только в IX веке, вавилоняне понимали связь между квадратами и произведениями, которая позволяла им пользоваться шорткатом к вычислению произведения A и B. Вместо вычисления квадратов их можно было просто найти в одной из таблиц квадратов, предварительно рассчитанных писцами.

Непер описал найденный им шорткат в книге под названием «Описание чудодейственной таблицы логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614). Читателям этой книги те идеи, которые она распространяла, и впрямь казались настоящим чудом. Оксфордский математик Генри Бригс, бывший первым профессором престижной кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем в Новом колледже, в котором профессорствую и я, был настолько поражен могуществом логарифмов Непера, что предпринял четырехдневное путешествие к Неперу в Шотландию. Он писал: «Я никогда не видел книги, которая доставила бы мне большее удовольствие или большее удивление».

На протяжении многих столетий эти таблицы давали естествоиспытателям и математикам шорткаты к сложным вычислениям. 200 лет спустя великий французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас заявил, что логарифмы «сокращают тяжелые труды, удваивая жизнь астронома и избавляя его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений».

В этой фразе Лаплас выражает важнейшее качество хорошего шортката: он освобождает разум, позволяя прилагать свои силы к более интересным предприятиям. Но истинную свободу от рутины вычислений ученые обрели лишь с появлением вычислительных машин.

Механические калькуляторы

Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».

Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».

Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.