Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [14]

Но чтобы решить нашу головоломку, на следующем этапе нужно вычислить, какими способами можно выбрать три места для трех двойных шагов по лестнице из семи возможных. Хотя этот метод кажется разумным и систематическим, нам нужно будет придумывать все новые формулы для включения в подъем по лестнице все большего числа двойных шагов. Эта работа начинает казаться трудоемкой и медленной – совсем не такой, каким должен быть шорткат.

Поэтому я опишу более удобный способ, основанный на том, о чем я рассказывал в этой главе. Очень действенной стратегией для решения таких головоломок мне кажется следующая: нужно рассмотреть малое количество ступенек и выяснить, есть ли в получающихся для них числах какой-нибудь паттерн.

Вот все варианты для лестниц из 1, 2, 3, 4 и 5 ступенек, которые можно быстро перебрать вручную:

1 ступенька: 1.

2 ступеньки: 11 или 2.

3 ступеньки: 111 или 12 или 21.

4 ступеньки: 1111 или 112 или 121 или 211 или 22.

5 ступенек: 11111 или 1112 или 1121 или 1211 или 2111 или 122 или 212 или 221.

Последовательность количества вариантов выглядит так: 1, 2, 3, 5, 8… Возможно, вы уже заметили паттерн. Следующее число получается сложением двух предыдущих. Возможно, вы даже знаете, как называются эти числа. Это же числа Фибоначчи! Они названы в честь математика XII века, открывшего, что эти числа – ключ к процессам роста природных объектов. Цветочных лепестков, сосновых шишек, ракушек, популяций кроликов. Все эти числа, по-видимому, следуют одному и тому же паттерну.

Фибоначчи открыл, что процессы роста в природе следуют одному простому алгоритму. Правило сложения двух предыдущих чисел – это шорткат природы к созданию сложных структур, например ракушек, шишек или цветков. Каждый организм использует две последние созданные им вещи в качестве ингредиентов для следующего шага.

Рис. 1.4. Построение спирали при помощи чисел Фибоначчи

Использование паттернов в развитии структур – ключевой шорткат природы. Взять, например, тот способ, которым природа создает вирус. Вирусы обладают чрезвычайно симметричной структурой. Связано это с тем, что алгоритм создания симметричной структуры прост. Если вирус имеет форму симметричного кубика, то ДНК, которая воспроизводит эту молекулу, нужно создать лишь несколько экземпляров одного и того же белка, образующего грани кубика, а затем вся структура вируса может быть построена по тому же правилу. Никакие особые инструкции для разных граней не требуются. Паттерн позволяет строить вирус быстро и рационально, что и делает его таким смертельно опасным.

Но можем ли мы быть уверены, исходя из столь малого количества данных, что секрет подъема по лестнице действительно скрыт в числах Фибоначчи?

На самом деле правило точно объясняет, как вычислить количество вариантов для следующего этапа, лестницы из 6 ступенек. Нужно взять все возможные варианты для четырех ступенек и прибавить в конце по двойному шагу. Или взять все возможные варианты для пяти и прибавить к ним по шагу одинарному. Это дает все возможности для шести ступенек. Получается сочетание двух предыдущих чисел последовательности.

Чтобы получить ответ на исходную головоломку, нужно вычислить десятый член последовательности.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Существует 89 разных вариантов. Этот паттерн – шорткат к вычислению количества возможных способов подъема до вершины лестницы. И этот же паттерн позволяет решить эту задачу, даже если ступенек будет 100 или 1000.

Хотя эти числа названы в честь Фибоначчи, первым их открыл не он. Это были индийские музыканты, игравшие на табла[21]. Они издавна состязались друг с другом, щеголяя разными ритмами, которые им удавалось извлекать из своих барабанов. По мере исследования разных типов ритмов, которые получались из долгих и кратких тактов, они и пришли к числам Фибоначчи.

Если долгий такт в два раза длиннее краткого такта, то количество ритмов, которые может составить из них музыкант, играющий на табла, будет таким же, что и количество вариантов подъема по лестнице. Каждый одинарный шаг соответствует краткому такту, а каждый двойной шаг – долгому. Значит, число возможных ритмов определяется правилом Фибоначчи. Более того, это же правило дает музыканту алгоритм построения новых ритмов из уже существующих более коротких.

В том обстоятельстве, что один и тот же паттерн объясняет столь разнородные явления, есть нечто потрясающее. Фибоначчи полагал, что это закон роста в природе. С точки зрения индийских музыкантов, игравших на табла, этот паттерн порождает ритмы. Он же позволяет получить число вариантов подъема по лестнице одинарными и двойными шагами. Есть даже некоторые финансовые аналитики, считающие, что эти числа можно использовать для предсказания момента, в который падающий курс акций достигнет нижней точки и снова начнет расти. Этот финансовый паттерн не вполне бесспорен и уж точно не универсален, но некоторым инвесторам удается применять его для принятия правильных решений. Столь действенным делает шорткат способность выявить фундаментальную структуру, скрытую за самыми разными фасадами. Один и тот же паттерн может дать решения множеству кажущихся совершенно разными задач. Когда приступаешь к решению новой задачи, часто бывает полезно проверить, не сводится ли она к старой задаче, решение которой вы уже нашли.