Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [102]

Шрифт
Интервал

растет с увеличением n экспоненциально. Я уже рассказывал о том, как опасен рост этой функции, в главе 1, когда индийский царь должен был заплатить за изобретение шахмат рисовыми зернами, число которых экспоненциально увеличивалось по мере продвижения по клеткам шахматной доски. А факториал n! (произведение всех чисел от 1 до n) – это функция, рост которой на самом деле еще быстрее экспоненциального.

Таково математическое определение длинного пути: алгоритм решения задачи, время работы которого, необходимое для вычисления ответа, экспоненциально возрастает с увеличением размера задачи. Именно для таких задач хотелось бы найти шорткаты. Но что считать качественным шорткатом? Так можно назвать алгоритм, по-прежнему вычисляющий решение сравнительно быстро даже при увеличении размера задачи: так называемый алгоритм полиномиального времени.

Предположим, у меня есть случайный набор слов, которые я хочу расположить в алфавитном порядке. Сколько времени будет занимать эта работа по мере все большего удлинения списка слов? Простой алгоритм для решения этой задачи мог бы в начале просмотреть весь исходный список из N слов и выбрать из него слово, стоящее в словаре раньше всех остальных. Затем нужно повторить ту же операцию для оставшихся N – 1 слов. Таким образом, чтобы расставить по порядку все N слов, нужно будет перебрать N + (N – 1) + (N – 2) + … + 1 слово. Но благодаря шорткату Гаусса мы знаем, что для этого потребуется в общей сложности N × (N + 1)/2 = (N>2 + N)/2 просмотров.

Это пример алгоритма полиномиального времени, потому что по мере увеличения числа слов N число просмотров растет пропорционально квадрату N. В случае задачи коммивояжера нужно найти алгоритм, который сможет находить кратчайший маршрут для N городов, перебрав всего, скажем, N>2 вариантов, то есть число маршрутов, пропорциональное квадрату числа городов.

К сожалению, первые алгоритмы, приходящие в голову, не относятся к полиномиальным. По сути дела, сначала мы выбираем первый город, в который нужно заехать, затем следующий… Если на карте всего N городов, это требует перебора N! маршрутов. Как я уже говорил, эта функция растет еще быстрее, чем экспоненциальная. Следовательно, необходимо найти стратегию, более рациональную, чем перебор всех маршрутов.

Шорткат к шорткатам

Чтобы показать, что существование такого алгоритма не всегда невозможно, рассмотрим задачу, которая на первый взгляд кажется столь же непреодолимой. Выберем две точки, обозначенные на карте в числе городов, которые должен посетить коммивояжер. Какой маршрут между этими двумя городами будет самым коротким? На первый взгляд кажется, что и здесь необходимо рассмотреть множество вариантов. В конце концов, можно начать с посещения любого города, непосредственно соединенного с начальным, а затем посетить один из городов, непосредственно соединенных уже с этим. Судя по всему, с увеличением числа городов сложность такого метода снова будет расти экспоненциально.

Но в 1956 году голландский программист Эдсгер В. Дейкстра придумал гораздо более рациональную стратегию, позволяющую находить кратчайший маршрут между двумя городами за время, аналогичное тому, что занимает перестановка слов в алфавитном порядке. Он обдумывал практическую проблему прокладки самого быстрого маршрута между двумя голландскими городами, Роттердамом и Гронингеном.

Однажды утром мы с моей молодой невестой ходили по магазинам в Амстердаме, устали и сели на террасе кафе выпить по чашке кофе. Я размышлял, смогу ли я решить эту задачу, и вдруг разработал алгоритм кратчайшего пути. Его изобретение заняло минут двадцать… Одна из причин, по которым он получился таким изящным, в том, что я разработал его без карандаша и бумаги. Позднее я понял, что одно из преимуществ работы без карандаша и бумаги состоит в том, что это почти что вынуждает избегать всех осложнений, которых можно избежать. В конце концов, к моему огромному удивлению, этот алгоритм стал одним из краеугольных камней моей известности.

Рассмотрим следующую карту:


Рис. 10.3. Каков кратчайший маршрут между городами 1 и 5?


Алгоритм Дейкстры предполагает, что я начинаю путешествие из начального города, города 1. На каждом этапе я буду вычислять для каждого города промежуточную сумму расстояний, что должно помочь мне найти кратчайший маршрут. Первым делом я помечу все города, связанные с начальным, расстояниями до них. В данном случае города 2, 3 и 6 получают соответственно метки 7, 9 и 14, и первым ходом я перемещаюсь в ближайший из этих городов. Однако следует помнить, что, когда алгоритм чудесным образом решит задачу, может оказаться, что самым лучшим первым ходом был переезд совсем в другой город.

Итак, вначале я переезжаю в город 2, потому что он расположен на самом малом расстоянии от начального пункта, города 1.

Затем я присваиваю городу 1, из которого я только что уехал, метку «посещенного». Находясь в следующем пункте, городе 2, я должен изменить метки всех городов, связанных с ним. Следовательно, речь идет о городах 3 и 4. Сначала я вычисляю расстояние до них от исходного пункта, города 1, через тот пункт, в котором я нахожусь, город 2. Если новое расстояние короче, чем то, которым следующий город помечен сейчас, я присваиваю ему метку с новым расстоянием. Если новое расстояние больше, город сохраняет старую метку. В случае города 3 новое расстояние (7 + 10) больше старого; следовательно, у этого города остается старая метка с числом 9. У некоторых городов, например города 4, может не быть предыдущей метки, потому что они не связаны с городами, которые я посетил до этого. Теперь я присваиваю этим новым городам метки с только что вычисленными расстояниями до них. Таким образом, город 4 получает метку с числом 7 + 15 = 22.


Еще от автора Маркус дю Сотой
Код креативности. Как искусственный интеллект учится писать, рисовать и думать

Знаменитый оксфордский профессор и популяризатор науки Маркус дю Сотой исследует природу творчества, освещая наиболее важные аспекты работы алгоритмов и математических правил, которые лежат в их основе. Он задается вопросом, насколько наш эмоциональный отклик на произведения искусства обусловлен реакцией мозга на закономерности и структуры и что именно означает заниматься творчеством в математике, изобразительном искусстве, литературе и музыке. На основе ярких примеров того, как «поверяется алгеброй гармония» мировых шедевров, среди которых «Евгений Онегин» Пушкина, «Песнь льда и пламени» Джорджа Р.


О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний

«Хотя эта книга посвящена тому, чего мы знать не можем, также очень важно понять, что мы знаем. В этом путешествии к пределам знаний мы пройдем через области, уже нанесенные учеными на карты, до самых пределов последних на сегодняшний день достижений науки. В пути мы будем задерживаться, чтобы рассмотреть те моменты, когда ученые считали, что зашли в тупик и дальнейшее продвижение вперед невозможно, но следующее поколение исследователей находило иные пути. Это позволит нам по-новому взглянуть на то, что мы сегодня можем считать непознаваемым.


Тайны чисел: Математическая одиссея

«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.


Рекомендуем почитать
На траверзе — Дакар

Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.


Историческое образование, наука и историки сибирской периферии в годы сталинизма

Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.


Интеллигенция в поисках идентичности. Достоевский – Толстой

Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.


Князь Евгений Николаевич Трубецкой – философ, богослов, христианин

Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.


Технологии против Человека. Как мы будем жить, любить и думать в следующие 50 лет?

Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.


Лес. Как устроена лесная экосистема

Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.


Цифры не лгут. 71 факт, важный для понимания всего на свете

Канадский ученый, эколог и политолог Вацлав Смил знаменит своими работами о связи энергетики с экологией, демографией и реальной политикой, а также виртуозным умением обращаться с большими массивами статистических данных. Эта книга, которая так восхитила Билла Гейтса, обобщает самые интересные материалы, которые Смил пишет для журнала IEEE Spectrum – одного из ведущих научно-инженерных изданий мира, и представляет собой актуальное руководство для понимания истинного положения дел на нашей планете.


Как устроен мир на самом деле. Наше прошлое, настоящее и будущее глазами ученого

Наша сегодняшняя жизнь перенасыщена информацией, однако большинство людей все же не знают, как на самом деле устроен наш мир. Эта книга освещает основные темы, связанные с обеспечением нашего выживания и благополучия: энергия, производство продуктов питания, важнейшие долговечные материалы, глобализация, оценка рисков, окружающая среда и будущее человека. Поиск эффективного решения проблем требует изучения фактов — мы узнаем, например, что глобализация не была неизбежной и что наше общество все сильнее зависит от ископаемого топлива, поэтому любые обещания декарбонизации к 2050 году — не более чем сказка.


Придворный

Сочинение итальянского дипломата, писателя и поэта Бальдассаре Кастильоне (1478–1529) «Придворный», соединяющее воспоминания о придворной жизни герцогства Урбино в начале XVI века с размышлениями о морали, предназначении, стиле поведения дворянина, приближенного к государю, – одна из тех книг эпохи Возрождения, что не теряли популярности на протяжении последующих веков и восхищали блестящие умы своего и будущих столетий. Для истории культуры труд Кастильоне явился подлинной сокровищницей, и сложно представить, насколько более скудными оказались бы знания потомков об эпохе Возрождения, не будь он создан. Составленное в виде сборника занимательных и остроумных бесед, это ярко и непринужденно написанное произведение выходит за рамки источника сведений о придворных развлечениях своего времени и перечня достоинств совершенного придворного как всесторонне образованного и утонченно воспитанного человека, идеального с точки зрения гуманистических представлений.


Человеческий рой. Естественная история общества

«Эта книга посвящена захватывающей и важной для любого человека теме – осознанию себя как части общества и рассмотрению самого феномена общества под лупой эволюционных процессов в животном мире. Марк Моффетт сравнивает человеческое общество с социальными образованиями общественных насекомых, и эти сравнения вполне уместны. И его последующий интерес к устройству социальных систем у широкого круга позвоночных, от рыб до человекообразных обезьян, не случаен. Как эволюциониста, его интересы связаны с выявлением причин и факторов, влияющих на трансформации социального поведения у разных таксонов, роли экологии в усложнении общественных связей, с поиском связей между морфологическими и психологическими преобразованиями, в конечном итоге приведших к возникновению нашего вида.