Искусство мыслить правильно - [76]

Предварительно можно определить доказательство как логическое выведение следствий из обоснованных посылок.

Неясность понятия доказательства связана и с тем, что не существует какого-то единого, так сказать «природного», понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики.

Образцом доказательства, которому стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. Долгое время считалось, что оно представляет собой ясный и бесспорный процесс. В прошлом веке отношение к математическому доказательству изменилось, математики разбились на группы, каждая из которых придерживалась своего истолкования доказательства. Исчезла уверенность в единственности и непогрешимости лежащих в основе доказательства логических принципов. Полемика по поводу математического доказательства показала, что нет критериев доказательства, не зависящих ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует эти критерии. Математическое доказательство представляет собой парадигму доказательства вообще, но даже в математике доказательство не является абсолютным и окончательным. «Нельзя не признать, — пишет математик М. Клайн, — что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но, скорее всего, она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и вечно ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства».

2. Прямое и косвенное доказательство

Немецкий философ А. Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального ее понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. В конце концов вы выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства, иначе его части лишатся связи, и оно может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целостного понимания не хватало, по все вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданиями в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход делается по правилам игры.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Например, нужно доказать, что астероиды подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространства. Отметив это, строим умозаключение: «Все космические тела подпадают под действие законов небесной механики; астероиды — космические тела; значит, астероиды подчиняются данным законам». Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. Как с иронией замечает математик Д. Пойа, косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии.