Искусство мыслить правильно - [67]

Но когда множество бесконечно, то объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не являются истинными.

Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключенного третьего, — писал немецкий математик Д. Гильберт, — все равно что… запретить боксеру пользоваться кулаками, а астроному — телескопом».

Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике — интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них — доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.

Интересно отметить, что еще до Брауэра сомнения в универсальной приложимости закона исключенного третьего высказывал русский философ и логик Н. А. Васильев. Он ставил своей задачей построение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и закона противоречия. По мысли Васильева, логика, ограниченная подобным образом, не способна действовать в мире обычных вещей, но она необходима для более глубокого понимания логического учения Аристотеля.

Современники не смогли в должной мере оценить казавшиеся им парадоксальными идеи Васильева. К тому же сам он склонен был обосновывать свои взгляды с помощью аргументов, не имеющих прямого отношения к логике и правилам логической техники, а иногда и просто путано. Тем не менее, оглядываясь назад, можно сказать, что он оказался одним из предшественников интуиционистской логики.

3. Еще логические законы

Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А. Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», и наоборот.

Закон тождества

Самый простой из всех логических законов — это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». Например, если Земля вращается, то она вращается; если трава зеленая, то она зеленая, и т. п. Чистое утверждение тождества кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Древнекитайский философ Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.

Закон тождества кажется в высшей степени простым и очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.

Законы контрапозиции

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания:

— из условного высказывания «Если первое, то второе» вытекает высказывание «Если не второе, то не первое», и наоборот;

— из «Если первое, то не второе» вытекает «Если второе, то не первое»;

— из «Если не первое, то второе» следует «Если не второе, то первое».

Например, из «Если сверкает молния, то гремит гром» следует «Если нет грома, нет и молнии»; из «Если нет причины, нет и следствия» вытекает «Если есть следствие, есть также причина» и т. п.

Контрапозиция — это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки и редкое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Модус поненс и модус толленс

Два закона, известные еще с глубокой древности, — это так называемые «модус поненс» и «модус толленс». Первый из них позволяет от утверждения условной связи и утверждения ее основания перейти к утверждению ее следствия. Второй говорит, что если следствие правильной условной связи неверно, то неверным является и ее основание. Например, если справедливо, что в случае дождя земля обязательно мокрая, и верно, что идет дождь, то верно, что земля мокрая. Если же верно, что в дождь земля всегда мокрая, а она не является мокрой, то это означает, что дождь не идет.

Другие законы

Шерлок Холмс однажды заметил: «Отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет ответом». Имеется в виду закон: «или первое, или второе, или третье; но первое неверно и второе неверно; следовательно, третье».

Еще один логический закон говорит об ошибочных следствиях: «Если первое, то второе или третье, но второе неверно и третье неверно; значит, неверно и первое».