Искатели необычайных автографов - [127]

Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее. Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных… А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.

— Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква «k» — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква «i» — индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая, до бесконечности.

k\i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	1	3	6	10	15	21	28	36	45
4	1	4	10	20	35	56	84	120	165
5	1	5	15	35	70	126	210	330	495
6	1	6	21	56	126	252	462	792	1287
7	1	7	28	84	210	462	924	1716	3003
8	1	8	36	120	330	792	1716	3432	6435
9	1	9	45	165	495	1287	3003	6435	12870
10	1	10	55	220	715	2002	5005	11440	24310

— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.

— Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.

— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!

— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.

— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.

— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это — 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.

— Каким образом?

— Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?

С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате делает это сам. Оказывается, вопрос действительно несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, все в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.

— Мсье, это изумительно! — стонет бес.

— То ли будет! Вы ведь знаете, что в прямоугольнике Тартальи, как и в треугольнике Паскаля, строки можно заменять столбцами.

— И что из этого следует? — спрашивает Фило.

— А то, что количество изосуммарных чисел от ОДНОЗНАЧНЫХ по, скажем, ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ, у которых сумма цифр, например, ТРИ, соответствует количеству ТРЕХЗНАЧНЫХ изосуммарных чисел с суммой цифр от ЕДИНИЦЫ по ЧЕТВЕРКУ. Вот они:

k	Изосуммарные числа с постоянным индексом 3	Количество их
1	3	1
2	12, 21, 30	3
3	102, 111, 120, 201, 210, 300	6
4	1002, 1020, 1200, 1011, 1101, 1110, 2001, 2010, 2100, 3000	10
Всего		20

i	Изосуммарные числа с постоянным индексом 3	Количество их
1	100	1
2	101, 110, 200	3
3	102, 111, 120, 201, 210, 300	6
4	103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400	10
Всего		20

Фило рассматривает новую таблицу с видом важным и недоверчивым. Це дило треба разжуваты, как говорят на Украине! Но, в общем, идея ясна. А теперь интересно бы узнать, почему все-таки таблица ограничивается индексом девять?

— В том-то вся и загвоздка! — оживляется Мате. — При индексе свыше девяти изосуммарные числа уже не укладываются в прямоугольник Тартальи. Для того чтобы вычислить количество изосуммарных чисел разных значностей с индексом больше девяти, надо к соответствующим числам прямоугольника Тартальи (а значит и треугольника Паскаля) прибавлять дополнительные слагаемые.

— И вы их нашли?!

— Представьте себе, нашел. И тем горжусь. Но поговорим об этом как-нибудь в другой раз…

Явно пародируя Мате, Асмодей хлопает себя по лбу.

— Клянусь решетом Эратосфена, никогда себе не прощу, что не включил вашего сообщения в заседание Клуба знаменитых математиков! То-то был бы эффект! Но ничего, все поправимо. Не включил в это — включу в следующее…

— Дорогой Асмодей, — робко обращается к нему Фило. — Давно хочу у вас спросить… Если, конечно, не секрет. Не скажете ли, кто исполнял в вашей передаче роль Паскаля? Случайно, не Юрский? Мне показалось — он. Но, по правде говоря, я не уверен…

Бес поднимает брови и некоторое время рассматривает его с преувеличенным интересом. Затем, не говоря ни слова, поворачивается на своих костылях и… исчезает. Словно его и не было. Фило растерянно хлопает глазами: до чего странный все-таки черт! И что он хотел этим сказать?

ПОСЛЕДНЯЯ ТОЧКА НАД i

Проходит долгая безасмодейная неделя. Все это время филоматики то и дело с тоской поглядывают на книгу Лесажа. Они даже пробуют трясти ее в надежде выманить беса, — напрасный труд! Кроме старой бумажки с рецептом орехового торта, оттуда так ничего и не вытряслось.