Хаос и структура - [310]

Когда мы искали закон инобытия, мы должны были скользить по самому инобытию, с тем чтобы пронаблюдать этот закон. В глубине этого распыления и появлялся его закон—в виде производной. В случае же, когда надо прийти к первообразному бытию, мы тоже скользим по инобытию, но, очевидно, не с целью разъединить и распылить, но с целью обобщить, так как первообразная функция перешла в производную именно благодаря распылению и становлению. Обратный процесс, следовательно, есть восстановление и объединение. Только этим путем мы можем вернуться к первообразной функции, потому что только этим путем мы и уходили от нее. Однако, как было недостаточно в первом случае видеть бесконечный процесс распыления, а нужно было еще узреть скрытый за ним и руководящий им закон инобытия (производную), так и здесь недостаточно одного простого суммирования и воссоединения распыленных моментов, а нужно стараться увидеть скрывающийся за этим закон этого объединения, закон этого суммирования, восстановляющего бытие в его первоначальной данности. Иначе мы потерялись бы в дебрях инобытия—и в первом, и во втором случае.

Но что же это за закон суммирования и воссоединения? Закон становления и распыления есть предел становления и распыления. Точно так же закон суммирования должен быть определенным пределом, который бы из бесконечности четко управлял этим процессом суммирования. Ясно, что таким пределом и является наша первообразная функция, потому что из нее и начался процесс становления, к ней и должно вернуться инобытие из своего бесконечного становления. Она—предел этого возвращения, т. е. предел суммирования всего распыленного. Это она видится в глубине восстановительного процесса и скрыто им управляет. Ее мы и должны найти, созерцая восстановительные пути инобытия.

Отсюда, интеграл есть, очевидно, предел суммы всех дифференциалов. Или, говоря пространнее, это есть предел бесконечно–большой суммы всех бесконечно–малых приращений функции.

Тут мы получаем уже более четкое определение интеграла, которое мы не можем получить, понимая интегрирование как действие, обратное дифференцированию. Только в определении интеграла как предела суммы всех дифференциалов мы обнаруживаем истинную восстановительную и синтетическую природу интеграла. Трактование интегрирования как действия, обратного дифференцированию, хотя оно вполне точно, не обладает такой выпуклостью, которую дает определение через суммирование.

К этому определению интеграла должно быть сделано несколько примечаний.

Прежде всего, как в анализе понятия производной, так и здесь мы должны получить основную стихию, в области которой разыгрываются эти понятия. Это — стихия становления, алогического становления, где мы находим полную неразличимость всех отдельных моментов, хотя они и даны как внеположные. Трактуя о бесконечно–малом, мы выдвигаем на первый план эту идею бесконечного процесса, где все отдельные моменты слиты в единый неразличимый поток. То же самое мы всегда должны помнить и в применении к интегралу. Интеграл также содержит в себе стихию алогического становления, и в нем также отдельные моменты этого процесса слиты в один внутренне безразличный поток. Правда, значимость этого потока здесь иная, но самый процесс, его алогичность тут одни и те же. Какой бы раздельной величиной ни являлась данная величина, все равно, раз она интеграл, она мыслится перекрытой стихией алогического становления и видится и сквозит через данную стихию как ее предельный контур.

Далее, необходимо заметить, что предыдущее определение интеграла есть, в сущности, определение того, что обычно называется «определенным» интегралом. Если мы просто напишем, как это понимается всегда,

∫ƒʹ(x)dx=ƒ(x)

то тут утверждается: ƒ(x) есть производная функции ƒ(x) и ƒ(x)dx есть ее дифференциал; интеграл же от этой функции и есть сама первообразная функция y=f(x). В этом способе выражения на первом плане стоит понимание интегрирования как действия, обратного дифференцированию. Однако если мы выдвинем на первый план момент предельного суммирования, то ясно, что это суммирование предполагает определенные пределы, в которых совершается данное суммирование. Тут имеется в виду процесс, который в общем можно обозначить так:

∫ƒʹ(x)dx=ƒ(b)-ƒ(a)

Тут имеются два соседних значения функции f(a) и f(b), между которыми и происходит процесс суммирования бесконечно–малых приращений. Этот процесс можно изобразить при помощи суммирования бесконечного количества таких разниц:

ƒʹ(b₁)-ƒʹ(a);ƒʹ(b₁)-ƒʹ(b₂); ƒʹ(b₃)-ƒʹ(b₂)и т. д.

Но ясно и так, что этот процесс разыгрывается между значениями а и b, в пределах между а и b, и что только в этом случае процесс суммирования получает законченную форму. Такой интеграл, который является результатом суммирования в определенных пределах, называется определенным интегралом в отличие от интеграла, не содержащего этих пределов и носящего название неопределенного интеграла. Ясно после этих разъяснений, что, хотя в обычных руководствах по анализу изложение начинается с неопределенных интегралов, логически, а также исторически первенство остается за понятием определенного интеграла. И только игнорирование интеграла как результата суммирования и выдвижение на первый план интеграла как результата взаимообразного действия с дифференцированием приводит к тому, что целесообразным считается начинать именно с неопределенных интегралов.