Хаос и структура - [303]

Предложенная формула, конечно, совершенно тождественна с двумя указанными, чисто математическими определениями. Но это есть формула философская, логическая или, точнее, диалектическая, т. е. основанная на анализе и антиномико–синтетической структуре понятий, в то время как те два определения суть чисто математические определения, т. е. основанные на формально–числовом, формально–счислительном объединении счетных величин. В диалектике — понятия и категории, в математике — числа и величины. В диалектике—антиномико–синтетическая связь понятий и категорий, в математике—счислите л ьно–счетная связь чисел и величин.

6. Сущность функции. Есть, однако, еще категория, столь же глубоко определяющая стиль науки о бесконечно–малом, как и само понятие бесконечно–малого. Это понятие функции. Школьные математики и это понятие угробили до той степени, когда оно превращается в сухую и чисто вычислительную категорию, имеющую только внешне–прикладное значение. Это понятие гораздо богаче школьного его употребления, в особенности если иметь в виду его социально–исторические корни.

Что такое функция и когда это понятие играет наибольшую роль в математике и философии?

Функция есть идеальная, смысловая картина вещи в условиях отсутствия самой вещи или, вернее, в условиях непринимания во внимание ее реального, субстанционального существования. Вещь существует, но мы воздерживаемся от суждения по вопросам ее реального существования. Реальное существование вещи нас нисколько не интересует; можно даже сказать, что, рассуждая о функциях, человек ровно нисколько не заинтересован в субстанциональном существовании вещей. Человек заинтересован в них не постольку, поскольку они существуют, но поскольку они мыслятся. Не будучи в состоянии обнять всего мира физически, человек стремится охватить его мысленно, воплотить его в своей сознательной мысли, сделать соизмеримым своему собственному сознанию. Эту позицию западноевропейского человека мы уже формулировали выше. Но каким же образом он смог бы охватить всю мировую действительность в своем реально–человеческом рассуждении? Как быть ему с этой необъятной громадой пространства и времени, в которой он теряется и тонет как незаметная песчинка? Единственный путь для этого — отвергнуть всякую субстанциальность, забыть эту необъятную массу действительности, обесплотить эту невместимую бесконечность мира и превратить только в логическую схему, в рассудочную систему, оторвать ее от бытийственных, материальных основ и корней. Наполните теперь эту логическую и рассудочную схему действительности (взятую вместо самой действительности) чисто числовым содержанием, и — вы получаете понятие функции, эту отвлеченную картину бытия, взятую без самого бытия.

Отсюда мы видим, какими интимными корнями связано функциональное мышление с глубинами западноевропейской духовной жизни.

Что такое функция? Тут тоже есть, как и везде, своя тройственность принципов, демонстрирующая понятие функции в развитом виде.

Именно, прежде всего мы наталкиваемся на понятие независи–мо–переменного. Будем брать переменное само по себе, переменное в его непосредственности и самостоятельности, или, как говорят в диалектике, «в себе», переменное в себе. Очевидно, оно тем самым будет независимым переменным. В треугольнике, напр., длина основания или высоты берется совершенно независимо от других элементов и величин, из которых состоит треугольник. Пусть длина основания равна 1 см, 2 см, 3 см и т. д. — все это будут величины независимые (именно как длина).

Далее, помысливши независимое переменное, мы по общей диалектической необходимости обязательно мыслим и зависимое переменное. Длина основания и длина высоты треугольника ни от чего не зависят, но площадь треугольника уже зависит от основания и высоты. Чем больше, напр., основание, тем больше будет и вся площадь, а чем меньше, напр., высота, тем меньше будет и площадь. Тут есть определенная зависимость, и площадь треугольника зависит от основания и высоты треугольника.

Наконец, важно иметь не просто зависимое переменное и независимое переменное, но также и определенную формулу этой зависимости. Поскольку независимое переменное есть некая определенная величина и поскольку зависимое переменное говорит о какой–то зависимости вообще и между обоими этими понятиями существует диалектическое противоречие, постольку синтез обоих понятий должен объединить определенность значения с зависимостью вообще и дать не просто зависимость вообще, но уже определенного вида зависимость. Тут мы видим, какие же, собственно, процессы произошли с зависимым переменным, когда мы поставили его в непосредственную связь с независимым переменным.

Эти три момента — независимое переменное, зависимое переменное, конкретная форма зависимости — все еще не дают понятия функции во всей его полноте. Дело в том, что функция, если точно формулировать этот термин, становится только тогда функцией, когда все эти три входящих в нее момента отрываются от действительности в ее субстанциональности, в ее реальности, когда они начинают мыслиться как чисто смысловые возможности, как построение чистой мысли. Функциональное отношение—это такое отношение, когда, не желая ничего утверждать о реальности и о вещах, мы строим какую–нибудь рассудочную схему, но за которую отказываемся отвечать как за что–то абсолютное и непреложное. Конечно, наука строит схемы, которые бы максимально соответствовали «действительности». Но когда наступает пора функционализма, то тут надо много кое–чего принять во внимание, чтобы правильно судить о «соответствии действительности».