Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности - [37]

Если вам не знакома статистика (или законы исчисления дробей), это может показаться невозможным. Если бы все факультеты проявили предвзятость и оказывали благосклонность женщинам, тогда и весь университет проявил бы такие же гендерные предрассудки – а все обстояло совершенно иначе.

Английский статистик Эдвард Симпсон (1922–2019) описал этот феномен в своей статье, вышедшей в 1951 г. и озаглавленной «Интерпретация взаимодействия в таблицах сопряженности»[22]. Сегодня мы называем это явление парадоксом Симпсона, или эффектом Юла – Симпсона (Удни Юл, статистик из Великобритании, уже упоминал о похожем эффекте в 1901 г.). Я объясню это без практических данных Беркли – с помощью простой гипотетической версии.

Предположим, у нас есть университет, в котором только два факультета – математический и юридический. Пусть 100 женщин и 100 мужчин подают документы на факультет математики, куда проходят 60 женщин (или 60 %) и 58 мужчин (58 %). Кажется, на математическом женщины в фаворе. На юридический подают документы 100 женщин, совершенно других, из них проходят 40 (40 %); что же касается мужчин, то юриспруденцию хотят изучать всего трое, а проходит только один. Один из трех – это меньше чем 40 %, и создается впечатление, что оба факультета предпочитают брать к себе женщин. Но если мы посмотрим на общие цифры по университету, то окажется, что из 200 женщин, подавших документы, принято 100, то есть 50 %, а из 103 мужчин, подавших документы, принято 59, то есть больше 50 %.

И как все это объяснить?

Вместо того чтобы переходить к техническим сложностям, позвольте привести интуитивно понятное объяснение. На основании имеющихся данных видно, что юридический факультет относится к поступающим намного суровее. И когда много женщин (100) подают документы на юридический факультет, отношение поступивших к общему числу, выраженное как 60 %, становится гораздо менее ценным. Поскольку равное количество женщин подает документы на каждый факультет, общее процентное отношение женщин, принятых в университет, к женщинам, подавшим документы, – это среднее арифметическое от 60 и 40, то есть 50. Но по причине того, что все знают, сколь суров и жесток юридический факультет, документы туда подают только трое мужчин, а поступает только один (и ничего бы не изменилось, если бы не поступил никто) – и это почти никак не влияет на процентное соотношение мужчин, принятых на математический факультет, к мужчинам, подавшим туда документы.

Вывод: да, оба факультета отдавали предпочтение женщинам. Но именно потому, что на юридический факультет, где процент зачисленных ниже, пытались поступить в большинстве своем женщины, а мужчины почти не шли, при объединении процентных соотношений доля мужчин действительно оказывается больше.

Сказать по правде, парадокс Симпсона сообщает нам кое-что очень простое о законах дробей. Приведенные ниже строки – это не более чем та же самая история, только в виде дробей:

60/100 > 58/100

и также

40/100 > 1/3,

но

(60 + 40) / (100 + 100) < (58 + 1) / (100 + 3)

Один мудрый человек как-то сказал, что статистика напоминает ему женщин в бикини: все, что открыто, очень мило и греет душу, но самое важное остается скрытым.

Примеров масса. Можно представить двух баскетболистов, Стефа и Майка. Пусть Стеф, по статистике, два года подряд делает больше точных бросков, чем Майк (в процентном отношении ко всем совершенным броскам), но общая статистика за два года все равно показывает, что Майк превосходит Стефа в меткости. Взгляните на таблицу.

Я сделал этот пример очень похожим на предыдущий: так ясна суть самого явления. Согласно таблице, в процентном отношении Стеф делал больше точных бросков и в 2000 г., и в 2001-м, но, если взять данные в общем за два года, окажется, что в меткости Майк его превосходит.

Можно еще представить двух консультантов по инвестициям, один из которых превосходит другого (в процентном отношении доходных портфолио) в первом полугодии, да и во втором полугодии, если взглянуть на процентное отношение, его результаты тоже лучше; но стоит подсчитать процентное отношение выгодных портфолио за весь год – и окажется, что оно выше у другого.

Когда я впервые узнал об этом парадоксе, мне привели в пример две больницы вот с такими данными. Было известно, что мужчины чаще предпочитали проходить осмотр в больнице А и избегать больницы Б, поскольку показатели мужской смертности в больнице А были ниже. Да и женщины, поступавшие в больницу А, тоже жили дольше, нежели в больнице Б. Но, как только сравнили данные в общем по мужчинам и женщинам, оказалось, что в больнице Б показатели смертности меньше, чем в больнице А. С радостью приглашаю моих умных читателей вписать числа в таблицу, представленную ниже, и посмотреть, как все это работает.

Проценты как они есть

Одна из проблем интерпретации численного анализа – это тот факт, что мы склонны думать о процентах как об абсолютных величинах. Например, мы чувствуем, что 80 % больше, чем 1 %. И тем не менее, если бы кто-нибудь предложил нам выбрать 80 % акций крошечной компании или 1 % акций такого гиганта, как Microsoft, мы бы очень скоро поняли, что процентные выражения – это не то же самое, что доллары.