Гидравлика - [4]

причем dP направлено по нормали к площадке ω.

Теперь, если определить суммарную силу которая воздействует на площадь ω, то ее величина:

Определив второе слагаемое в (3) найдем Р_абс.

Pабс = ω(p₀ + h_{ц. е}). (4)

Получили искомые выражения для определения давлений, действующих на горизонтальную и наклонную

плоскости: Р_изб и Р_абс.

Рассмотрим еще одну точку С, которая принадлежит площади ω, точнее, точку центра тяжести смоченной площади ω. В этой точке действует сила P₀= ρ₀ω.

Сила действует в любой другой точке, которая не совпадает с точкой С.

10. Определение силы давления в расчетах гидротехнических сооружений

При расчетах в гидротехнике интерес представляет сила избыточного давления Р, при:

р₀ = р_атм,

где р0 – давление, приложенное к центру тяжести.

Говоря о силе, будем иметь в виду силу, приложенную в центре давления, хотя будем подразумевать, что это – сила избыточного давления.

Для определения Р_абс воспользуемся теоремой моментов, из теоретической механики: момент равнодействующей относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.

Теперь, согласно этой теореме о равнодействующем моменте:

Поскольку при р₀ = р_атм, P = ρgh_{ц. е}.ω, поэтому dP = ρghd_ω = ρgsinθld_ω, следовательно (здесь и далее для удобства не будем различать р_изб и р_абс), с учетом P и dP из (2), а также после преобразований следует:

Если теперь перенесем ось момента инерции, то есть линию уреза жидкости (ось O_Y) в центр тяжести ω, то есть в точку С, то относительно этой оси момент инерции центра давления точки D будет J₀.

Поэтому выражение для центра давления (точка D) без переноса оси момента инерции от той же линии уреза, совпадающие с осью O_Y, будет иметь вид:

I_y = I₀ + ωl²_ц.т.

Окончательная формула для определения места расположения центра давления от оси уреза жидкости:

l_{ц. д.} = l_{ц. г}.+ I₀/S.

где S = ωl_ц.д. – статистический момент.

Окончательная формула для l_ц.д. позволяет определить центр давления при расчетах гидротехнических сооружений: для этого разбивают участок на составные участки, находят для каждого участка l_ц.д. относительно линии пересечения этого участка (можно пользоваться продолжением этой линии) со свободной поверхностью.

Центры давления каждого из участков находятся ниже центра тяжести смоченной площади по наклонной стенке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I₀/ωl_ц.u.

11. Общая методика определения сил на криволинейные поверхности

1. В общем случае, это давление:

P_z = ρgWg,

где Wg – обьем рассматриваемой призмы.

В частном случае, направления линий действия силы на криволинейную поверхность тела, давления зависят от направляющих косинусов следующего вида:

Сила давления на цилиндрическую поверхность с горизонтальной образующей полностью определена. В рассматриваемом случае ось O_Y направлена параллельно горизонтальной образующей.

2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверхность с вертикальной образующей и направим ось O_Z параллельно этой образующей, что значит ω_z = 0.

Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае,

где h'_ц.т. – глубина центра тяжести проекции под пьезометрическую плоскость;

h' _ц.т. – то же самое, только для ω_y.

Аналогично, направление определяется направляющими косинусами

Если рассмотреть цилиндрическую поверхность, точнее, объемный сектор, с радиусом γ и высотой h, с вертикальной образующей, то

ω_x = h_y,

h'_ц.т. = 0,5h.

3. Осталось обобщить полученные формулы для прикладного применения произвольной криволинейной поверхности:

12. Закон Архимеда. Условия плавучести погруженных тел

Следует выяснить условия равновесия погруженного в жидкость тела и следствия, вытекающие из этих условий.

Сила, действующая на погруженное тело – равнодействующая вертикальных составляющих P_z1, P_z2,т. е.:

P_z1 = P_z1 – P_z2 = ρgW_Т. (1)

где P_z1, P_z2 – силы направленные вниз и вверх.

Это выражение характеризует силу, которую принято называть архимедовой силой.

Архимедовой силой является сила, равная весу погруженного тела (или его части): эта сила приложена в центр тяжести, направлена вверх и количественно равна весу жидкости, вытесненной погруженным телом или его частью. Мы сформулировали закон Архимеда.

Теперь разберемся с основными условиями плавучести тела.

1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется объемным водоизмещением. Центр тяжести объемного водоизмещения совпадает с центром давления: именно в центре давления приложена равнодействующая сил.

2. Если тело погружено полностью, то объем тела W совпадает с W_Т, если нет, то W < W_Т, то есть P_z = ρgW.

3. Тело будет плавать только в том случае, если вес тела

G_Т = P_z = ρgW, (2)

т. е. равен архимедовой силе.

4. Плавание:

1) подводное, то есть тело погружено полностью, если P = G_т, что означает (при однородности тела):

ρgW = ρ_тgW_Т, откуда

где ρ,ρ_Т – плотность жидкости и тела соответственно;

W– объемное водоизмещение;

W_Т – объем самого погруженного тела;

2) надводное, когда тело погружено частично; при этом глубину погружения низшей точки смоченной поверхности тела называют осадкой плавающего тела.

Ватерлинией называют линию пересечения погруженного тела по периметру со свободной поверхностью жидкости.

Площадью ватерлинии называется площадь погруженной части тела, ограниченной ватерлинией.