Газета Троицкий Вариант # 40 (27_10_2009) - [8]
Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.
Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:
∀… ∃… ∀… (для любого ... существует ... для любого)
Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:
∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…
На что это похоже?
Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):
∃ б(1) ∀ ч(1) ∃б(2) ∀ ч(2) ∃б(3) МЧ
(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)
Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.
Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и непременный выигрыш черных. Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):
Первый играющий называет значение числа е. Например, 0,000000001.
Второй, подумав, выдает N = 16573. Первый вправе назвать любое число больше N. Он называет 16585.
Идет сверка. И х(16585) — 5 оказывается меньше 0,000000001.
Первый расплачивается. Азарт толкает его на повторение эксперимента. Теперь он выдвигает и вовсе микроскопическое s = 0,000000000000000000000000000000000000001.
Второй, подумав, выдает N=178539763. И, вне зависимости от следующего декоративного хода Первого, Второй выигрывает по итогам сверки.
Если Первый — не клинический идиот и не чересчур богат, после получаса игры он понимает две вещи:
1) второй выигрывает всегда (это и есть сходимость — квантор в квантор);
2) так как он выигрывает одним ходом, в нем заключена суть выигрыша.
Опыт показывает, что такая игровая модель наглядна и способствует лучшему усвоению материала.
Здесь же — и возможность немного неформального, нестрогого, но быстрого и конструктивного определения предела, того самого разумного упрощения без катастрофической потери смысла. В подавляющем большинстве случаев сходимость последовательности (функции) — это способ вычисления N (или А) по s. Иначе говоря, решающий ход. Заметим, что просто наблюдением за формулой предела выделить из нее решающее звено 3 N(s) не так-то легко. А в метафоре игры — мгновенно.
Всматривание в природу решающего хода наводит на еще одну модель. Давайте будем говорить о сходимости как о существовании машинки, перерабатывающей ε в N (или Δ). Вот такой: ε → ♦→ Δ. Тогда доказательства сходимости сводятся к конструированию и предъявлению таких машинок — либо «винтик за винтиком» (сходимость конкретных функций и последовательностей), либо с использованием уже существующих, данных машинок, неважно как, но действующих, типа запаянных микросхем (сумма, произведение, суперпозиция функций).
Здесь надо сказать, что этот (довольно очевидный) язык — с «распараллеливанием» s на две машинки, с черными ящичками и т.п. — оказывается весьма современным. Отвинтив боковую стенку компьютера, любой студент видит нечто подобное. Поэтому здесь идет оживление формулы, визуализация.
К сожалению, в большинстве вузов мальчики и девочки довольно бойко дифференцируют и вычисляют пределы, не зная, что такое производная и предел. По-моему, этот компромисс вреден со многих точек зрения. Об этом можно впоследствии поговорить отдельно.
Леонид Костюков
ФЦП «Кадры» — гладко было на бумаге...
«Троицкий вариант» продолжает отслеживать ход конкурсов Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»
Федеральная целевая программа (ФЦП) «Кадры» была задумана, чтобы поддержать лучшие научно-образовательные центры, научные группы и отдельных молодых исследователей. Пробив себе дорогу в серьезной конкуренции с проектами многих других федеральных целевых программ, ФЦП «Кадры», наконец, заработала в этом году, пусть первоначально планировавшиеся расходы на нее и были урезаны в связи с кризисом. Однако ей не суждено было оправдать надежд на качественное отличие в организации конкурсов и экспертизы от того, что как это устроено в уже действующих федеральных целевых программах научно-технической направленности. Виной тому в первую очередь Федеральный закон от 21.07.2005 № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд» и психология чиновников, не желающих отступать от наработанных шаблонов проведения конкурсов. Дело в том, что Федеральный закон 94-ФЗ устанавливает такие правила оценки заявок, подаваемых на конкурсы, которые практически не учитывают особенностей научно-образовательной сферы (см. выпуск «Троицкого варианта» от 17 марта 2009 г.), и, кроме того, прописывает процедуру подачи заявок, неудобную для нормальной организации научных конкурсов, а чиновники по своей инициативе делают процедуру подачи заявок еще более тяжелой и запутанной.
![Газета Троицкий Вариант # 47](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Газета Троицкий Вариант # 51](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Газета Троицкий Вариант # 49](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Газета Троицкий Вариант # 44 (22_12_2009)](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Газета Троицкий Вариант # 42 (24_11_2009)](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Газета Троицкий Вариант # 45 (19_01_2010)](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Представьте, что копирайта нет](/storage/book-covers/a6/a6e2136f9608bd14d4c4493ee91ef6462558529a.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
![Пасынки "свободного мира"](/storage/book-covers/43/43dc6d6427e271c3c72be6a03f9b6c2784a9f978.jpg)
В книге на основе фактов и документов рассказывается о социальном неравенстве миллионов детей в странах капитала, о нещадной эксплуатации детского труда. Авторы показывают, как буржуазное общество лишает юное поколение детства. С момента своего рождения дети становятся пасынками «свободного мира». Для широкого круга читателей.
![Командировка](/storage/book-covers/65/659d3e7c98d7f7d115aa7391796e676b96ced165.jpg)
В этой книге помещены очерки о людях с интересными судьбами. Здесь и о людях, осваивающих Крайний Север, и о героическом Евпаторийском десанте в годы Великой Отечественной войны, и о осиротевшей семье в новгородской деревне… И в каждом очерке присутствует волнующая человеческая судьба.Книга рассчитана на массового читателя.
![Россия: линии разлома](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
Интервью старшего научного сотрудника Института философии РАН Вадима Цымбурского интернет-изданию "Агентство политических новостей".
![Страница найдена](/storage/book-covers/f0/f06058e7bb6d691423a93f8b34e8eeb65efc19db.jpg)
Книга «Страница найдена» предназначена для ЛГБТ-подростков, их родных и близких, педагогов, психологов, но будет интересна и самому широкому кругу читателей. Книга разъясняет вопросы, связанные с сексуальной ориентацией, гендерной идентичностью и подростковой сексуальностью.
![De Prófundis](/storage/book-covers/b8/b802b9d685888eab5040519a4379f7b0ab00cc39.jpg)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.