Фрактальная геометрия природы - [8]

Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»

В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.

Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками — < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.

< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве — каким бы «патологическим» оно ни выглядело — некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через D_T Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в [203] и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через D.

< В евклидовом пространстве R^E величины размерностей D_T и D заключены в промежутке от 0 до E. Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность D_T всегда является целым числом, в то время как для размерности D это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. [231], глава 4)

D≤D_T

В случае евклидовых множеств D=D_T. Однако почти для всех множеств в этой книге D>D_T. Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:

< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

< Любое множество с нецелым значением D является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность

D=ln2/ln3≈0,6309>0, при D_T=0.

Канторово множество в пространстве R^E можно обобщить так, чтобы D_T=0, a D принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до E (включительно).

< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность

D=ln4/ln3≈1,2618>1, при D_T=1.

< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность

D=2, при D_T=1.

< Тот поразительный факт, что размерность D не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности D являются дробными — размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что D может принимать и целые значения (меньшие, чем E, но строго большие, чем D_T), я предпочитаю называть величину D фрактальной размерностью. ►

ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.

Кроме того, каждый из этих подходов — и фрактальный, и спектральный — имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны. ►

О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ ... НОВЫ, НО ... »

В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности D эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность D к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью D центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.