Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [191]

', у' той же точки.

Фиг. 168.Диаграмма пространства-времени по Эддингтону.

_{Наблюдатель ε находится в начале координат, так же как и наблюдатель ε', который быстро движется вдоль оси х относительно ε. Линия «вижу сейчас» описывается уравнением x = — ct и отмечает все события, которые ε (или ε') видят сейчас. Зная величину скорости света с, ε следит за временем его распространения и размечает свою ось событиями, которые происходят сейчас вдоль оси х. Однако, для той же линии «вижу сейчас» поправки ε' будут другими и линией «сейчас» он называет свою ось х'. Продолжение линии «вижу сейчас» в направлении положительного времени дает максимальный наклон, который получается у ε' для линии «сейчас», ибо ε' не может двигаться с относительной скоростью, большей с, а его линия поэтому никогда не может наклониться больше «световой» линии с наклоном с. Покрутите эту картинку вокруг оси t, и световая линия даст вам двойной конус}

_{Допустим что событие Р произошло вначале координат, в точке «здесь, сейчас», а другое событие — в точке Q. Если Q находится внутри верхнего светового конуса (Q1), оно явно находится в будущем для всех наблюдателей. Аналогично всякое событие внутри нижнего светового конуса (Q2) находится в абсолютном прошлом, для всех наблюдателей Q2, происходит раньше Р. Но Q3 в пространстве между конусами может быть будущим для ε и тем не менее прошлым для наблюдателя ε', так как его ось наклонна. Поэтому мы называем такую промежуточную область «абсолютным где-то». Если Q попадет туда, ни Р, ни Q не могут быть причиной друг друга, они просто происходят в разных местах.}

Фиг. 169.Диаграммы пространства (в одном измерении) и времени.

_{а — некое событие, происходящее на прямой линии (оси х), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q. Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q;}

_{б — для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.}

_{в — при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;}

_{г — преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость ε и ε' приближается к c).}

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z). По отношению к новым осям координаты точки будут x', у'. Обозначим символом s наклон новой оси х, так что s = tg А. Теперь видно, что

x' = (x + b)∙cos A = (x + y∙tg A)∙cos A =

= (x + sy)/sec A = (x + sy)/√(1 + tg²A),

т. е.

x' = (x + sy)/√(1 + s²)

Подобным же образом

y' = (y — sx)/√(1 + s²)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t, умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i(v/c). Если y = ict, y' = ict', a s = iv/c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями

Определим «интервал» между двумя событиями (x₁, t₁) и (x₂, t₂) по теореме Пифагора:

R² = (x₁ — x₂)² + (ict₁ — ict₂)²

Затем можно записать выражение для «интервала» R' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках (x'₁, t'₁) и (x'₂, t'₂). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R. Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.

Роль скорости с иллюстрируется историей, предложенной Джоном А. Уилером. Допустим, что обитатели некоего острова проводят все свои измерения в прямоугольной системе координат, но расстояние по оси, идущей с севера на юг, они измеряют в километрах, а с запада на восток — в метрах. Затем неожиданный сдвиг магнитного поля Земли на угол А вынуждает их повернуть свои оси в новом направлении. Однако они по-прежнему продолжают мерить расстояния С'—Ю' в километрах, а 3'—В' в метрах. Попытавшись вычислить расстояние между двумя точками по теореме Пифагора R² = (Δx)² + (Δy)², они обнаруживают, что в новых координатах R стало другим. Затем они открывают, что для обоих наборов осей значение R получается одним и тем же (которое к тому же полезно), если определить R² = (Δx)² + (1000∙Δy)². Этот «таинственный» множитель 1000 соответствует c в релятивистском интервале. Вывод таков: с не столько таинственная предельная скорость, сколько множитель, связанный с единицами измерения, который говорит, что время и расстояние не отличаются в корне друг от друга, а образуют однородное множество, в котором и то и другое можно измерять метрами.