Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [82]
В первой половине XIX века три математика – венгр Янош Бойяи, русский Николай Лобачевский и немец Карл Гаусс – осознали, что если изъять постулат о параллельных прямых, то получится не ущербная евклидова, а совершенно новая геометрия. Она получила название гиперболической, от греческого слова, означающего “слишком много” (в ней слишком много пространства для евклидовой плоскости). Гиперболическая геометрия характеризуется постоянной отрицательной кривизной (это означает, что гиперболическое пространство одинаково искривлено противоположным по сравнению со сферой образом). В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180 градусов, а теорема Пифагора не выполняется. Это не значит, что евклидова геометрия неверна, а данное Евклидом доказательство теоремы Пифагора ошибочно. При условиях, изложенных в аксиомах Евклида, теорема Пифагора выполняется всегда. Но вот если эти аксиомы меняются, то возникают иные геометрические системы, в которых выполняются другие теоремы. Замена пятого постулата на его отрицание приводит к рождению абсолютно новой геометрии – гиперболической. То же самое происходит в любой математической системе: изменение базовых аксиом открывает новый математический мир, где действуют иные правила. Теорему Пифагора можно доказать, пользуясь набором аксиом – теми самыми пятью постулатами, – что сформулировал Евклид. Но уберите пятый постулат – и вы получите неевклидову геометрию, в которой теорема Пифагора неверна. Математики открыли и еще одну геометрическую систему, где также отрицается пятый постулат, но, кроме того, видоизменяется второй: прямые линии в ней не могут продолжаться бесконечно, поскольку находятся на поверхности сферы. Эта вторая неевклидова геометрия, получившая название эллиптической, была разработана немцем Бернхардом Риманом.
Евклид показал миру, как правильно и точно доказывать математические утверждения. Он также продемонстрировал, что с помощью одного набора аксиом, сформулированных в конкретном разделе математики, возможно охватить всю эту науку. После “Начал” он написал другие труды, в которых применил свои пять постулатов для доказательства других, не относящихся к геометрии теорем. Например, переработав свои постулаты так, чтобы они оказались применимы к теории чисел, он сумел доказать, что существует бесконечно много простых чисел (тех, что делятся только сами на себя и на единицу). Современные математики используют тот же подход – берут аксиомы из одного раздела своей науки и применяют их в разных областях; правда, обращаются они не к геометрии, а к другому, более абстрактному разделу математики, известному как теория множеств.
Родоначальниками теории множеств были (и это не случайно) те же ученые, что стояли у истоков математики бесконечного: немцы Георг Кантор и Рихард Дедекинд, с которыми мы уже встречались в десятой главе. Теория множеств возникла потому, что она способна оперировать как конечными, так и бесконечными числами. Кроме того, в точном соответствии со своим названием она дает математикам теоретическую основу для работы с множествами – наборами объектов, будь то числа, буквы алфавита, планеты, жители Парижа, множества множеств или любые другие, какие только можно выдумать. В мире математики любой волен выбирать, какой набор аксиом положить в основу одного из многочисленных возможных вариантов теории множеств. Так уж сложилось, что система, которой математики сегодня пользуются чаще всего, поскольку она хорошо работает в большинстве ситуаций, – это теория множеств Цермело – Френкеля. К ней добавляют еще одну специальную аксиому, известную как аксиома выбора, и все вместе называют “системой ZFC”[58]. Многие из аксиом ZFC очевидны и не требуют разъяснений: “Два множества, содержащие одни и те же элементы, идентичны” и подобные. А вот аксиома выбора оказалась орешком покрепче. Ее даже провозгласили самой спорной аксиомой со времен евклидова постулата о параллельности.
Упрощая, сформулируем аксиому выбора так: если дан любой набор множеств, всегда возможно выбрать из каждого ровно по одному неповторяющемуся элементу и составить из них новое множество. В повседневных ситуациях это кажется очевидным: например, можно выбрать по одному человеку из каждой страны мира и собрать их в одном помещении. Проблема в том, что не совсем понятно, как это осуществить, если число множеств бесконечно и сами они имеют бесконечный размер. В таком случае сделать необходимый выбор может быть просто невозможно, и тогда аксиома выбора начинает больше походить на произвольно навязанное правило, чем на утверждение, с которым все могут согласиться. И все же, несмотря на это, большинство математиков сегодня охотно принимают аксиому выбора, поскольку она необходима им для доказательства множества важных теорем. Порой ее применение приводит к результатам, кажущимся на первый взгляд совершенно невероятными. Один из них: парадокс Банаха – Тарского, он же парадокс удвоения шара, который мы уже обсуждали в девятой главе и согласно которому шар можно разрезать на конечное число частей, а затем собрать из них две копии того же шара, удвоив таким образом исходный объем. Под “разрезанием” здесь подразумевается абстрактное, математическое разбиение, невозможное в реальном мире. И все равно это больше похоже на колдовство, чем на математику. Тем не менее, если применять аксиому выбора, промежуточные части разрезанного шара можно считать не сплошными кусочками, а своего рода разрозненными “облачками”, не имеющими определенного объема, так что при их сборке легко получить объем, в два раза (или хоть в миллион) превышающий начальный.
