Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [57]
Парадокс Рассела, как его стали называть, вскрыл неустранимое противоречие “наивной” теории множеств, разработанной Фреге. Слово “наивный” в этом контексте указывает на ранние формы теории множеств, не основанные на аксиомах и предполагающие существование такого понятия, как “универсальное множество” – содержащее все объекты математической вселенной. Прочитав письмо Рассела, Фреге тут же понял его огромную важность. В ответном послании он написал:
Открытое вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить [свою] арифметику[36]. ‹…› Все усугубляется тем, что с утратой правила V не только основания моей арифметики, но и единственно возможные основания арифметики, похоже, рассыпаются в прах.
Наличие этого парадокса в основе столь любовно выстроенной Фреге теории значило, что практически любое следовавшее из нее утверждение было одновременно и истинным, и ложным. А как известно, любая логическая система, в которой вскрывается парадокс, становится бесполезной.
Открытие на заре XX столетия парадокса Рассела, таящегося в самом сердце логики и математики, пошатнуло сами основания этих наук. Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения. Да что там дважды два – вообще ничего в математике больше невозможно было доказать. Уж на что нерушимой твердыней казалась теория множеств, разработанная – в той форме, что существовала в поздние викторианские времена, – такими учеными, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд (о которых мы еще поговорим в десятой главе, посвященной бесконечности), Давид Гильберт (с ним мы впервые встретились в первой главе, а потом еще раз в пятой, когда обсуждали машину Тьюринга) и Фреге, – и та трещала по швам. Крушение наивной теории множеств началось с парадокса о трансфинитных порядковых числах, известного как парадокс Бурали-Форти, хотя первым, кто осознал его тревожные последствия для теории около 1896 года, был Кантор. После того как Рассел окончательно добил ее своим парадоксом, математикам стало ясно: придется либо отступить от веры в доказательство, либо найти альтернативу наивной теории. Поскольку первое было совершенно немыслимо, нужно было каким-то образом с нуля выстроить всю теорию множеств заново, причем так, чтобы с самого начала исключить малейшее подозрение даже на возможность парадокса.
Решение заключалось в разработке так называемых формальных систем. В отличие от наивной теории множеств, выросшей из предпосылок, основанных на здравом смысле, и правил, сформулированных на естественном, неформализованном языке, новый подход требовал исходно определить конкретный набор аксиом. Аксиома – это утверждение или положение, имеющее точную формулировку и изначально принимаемое истинным. У каждой системы может быть свой набор аксиом, каждый автор вправе выбрать для создаваемых систем свои. Но после того, как набор аксиом той или иной формальной системы определен, любые утверждения, которые в рамках этой системы могут характеризоваться как истинные или ложные, должны строиться только из этих изначальных положений. Ключ к успеху любой формальной системы – в тщательном отборе аксиом: они не должны оставлять ни малейшей лазейки для коварных непрошеных гостей вроде парадокса лжеца.
Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным. Классический пример: парадокс Банаха – Тарского. Он гласит, что можно взять шар, разрезать его на конечное число частей и составить из них два шара, каждый из которых будет того же объема, что и первый. Кажется безумием, поэтому сразу оговоримся, что речь здесь идет не о реальном шаре, остром ноже и тюбике суперклея. И пусть вас не беспокоит, что какой-нибудь предприимчивый делец сможет разрубить на части золотой слиток, а потом собрать из них два новых такого же размера. Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.
