Есть идея! - [2]
Мораль этой юмористической истории понять нетрудно: задача, которая кажется нам трудной, может Иметь неожиданно простое решение. Обезьяна могла руководствоваться природным инстинктом или накопленным опытом, но главное в том, что она сумела найти прямое решение задачи, которое ускользнуло от внимания профессора.
Суть математики — непрестанный поиск все более простых способов доказательства теорем и решения задач. Нередко первое доказательство какой-нибудь теоремы требует целой статьи объемом в 50 страниц убористого текста, доступного лишь посвященным. A через несколько лет другому математику, быть может даже менее знаменитому, приходит в голову блестящая идея, позволяющая упростить и сократить доказательство настолько, что оно умещается в нескольких строках.
Озарения такого рода, приводящие к кратким, изящным решениям, привлекали и продолжают привлекать внимание психологов. Наступают они внезапно, как гром среди ясного неба. Широкой известностью, пользуется история о том, как ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, возвращаясь как-то вечером домой, изобрел на мосту кватернионы. Он внезапно понял, что в арифметической системе коммутативный закон отнюдь не обязательно должен выполняться. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона, что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные формулы алгебры кватернионов на каменных перилах, «Высеченные в камне», эти формулы и Польше украшают исторический мост.
Что именно происходит в мозгу творческой личности, когда на нее нисходит озарение? Этого не знает пока никто. Озарение, взлет, интуитивное постижение истины — процесс довольно загадочный, не поддающийся попыткам расчленить его на составные части и воспроизвести при помощи ЭВМ, Современные 8 ЭВМ решают задачи, автоматически шаг за шагом выполняя огромнее количество операций в соответствии с командами, записанными в программе. Лишь невероятные скорости, с которыми ЭВМ выполняют элементарные операции, позволяют современным ЭВМ решать некоторые задачи, остающиеся непосильными для человека, так как решение таких задач потребовало бы от него несколько тысяч лет безостановочных вычислений.
Внезапное озарение, творческий взлет разума, перед которым, как при вспышке молнии, открывается простой и короткий путь к решению задачи, по самой своей природе выделяется на фоне общего темна развития. Как показали последние исследования, личности с особо сильной склонностью к такого рода озарениям обладают средним уровнем развития и никакой корреляции между высоким уровнем развития и способностью интуитивно постигать истину, по-видимому, не существует. Человек может обладать высоким I. Q.[1], измеряемым по обычным тестам, и более чем скромными способностями к нестандартному мышлению. С другой стороны, люди, не блещущие в остальном особыми талантами, могут обладать весьма ярко выраженной способностью к озарению. Например, Эйнштейн не отличался особенно глубокими познаниями в математике, и его оценки и в гимназии, и в цюрихском Политехникуме оставляли желать много лучшего. Тем не менее взлеты творческой фантазии, которые привели его к созданию общей теории относительности, были настолько мощными, что полностью революционизировали физику.
В этой книге перед вами предстанет тщательно подобранная система задач, которые кажутся трудными и действительно трудны, если пытаться решать их традиционными методами. Но стоит лишь вам избавиться от оков традиционного мышления и воспарить до высот озарения, как перед вами откроются простые и ясные решения. Не следует особо огорчаться, если сначала задачи будут упорно не поддаваться решению. Не заглядывайте в ответ до тех пор, пока вам не удастся самостоятельно решить задачу. Постепенно вы постигнете дух оригинального, «нелинейного» мышления и, возможно, с удивлением почувствуете, что озарение стало нисходить на вас чаще, чем прежде. Если это произойдет, то довольно скоро вы обнаружите, что ваше умение находить нестандартные решения оказывается полезным во многих ситуациях, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни. Предположим, например, что требуется подтянуть ослабевший винт. Нужно ли непременно отправляться за отверткой или можно с успехом обойтись оказавшейся под рукой мелкой монетой?
Немалое удовольствие вы получите, предлагая задачи из нашего сборника своим друзьям и знакомым. Во многих случаях они будут долго размышлять над предложенной вами задачей, пока наконец не признают себя побежденными, а задачу безнадежно трудной. Когда же вы покажете им, что задача решается очень просто, они, без сомнения, получат большое удовольствие. Не исключено, что озарения каким-то образом связаны с удовольствием, получаемым от игры. Тот, кто умеет находить нестандартные решения, при встрече с головоломкой или трудной задачей испытывает радость, сравнимую с той, которая знакома любителям бейсбола или шахмат. Дух игры, по-видимому, предрасполагает к озарениям, позволяющим находить оригинальные решения.
Способность к нестандартному мышлению отнюдь не обязательно коррелирует с быстротой соображения. Тугодумы могут получать удовольствие от задачи ничуть не меньше тех, кто схватывает все на лету, и при поиске неожиданных решений могут оказаться сильнее «скородумов». Возможно, что удовольствие, получаемое при нестандартном решении задачи, побудит кого-нибудь к более глубокому изучению традиционных методов решения. Эта книга предназначена для любого читателя, наделенного чувством юмора и способностью понимать задачи.
Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Книга Гарднера — это популярное изложение специальной и общей теории относительности, действительно рассчитанное на миллионы читателей.Увлекательно и доступно написанная, она будет понятна всем, начиная со школьников старших классов. Особо следует отметить прекрасные иллюстрации. Благодаря им книга похожа на альбом под названием «Теория относительности в картинках».Впрочем, именно такой и должна быть популярная книга.
Имя Мартина Гарднера (р. 1914) хорошо известно в России. За свою долгую жизнь он написал более 70 книг, ставших популярными во всем мире, многие из них издавались и на русском языке. Гарднер — автор огромного количества статей, посвященных математике (на протяжении 25 лет он вел колонку математических игр и фокусов в журнале «Scientific America»), а также фантастических рассказов и эссе на самые разные темы. В сборник «Когда ты была рыбкой, головастиком — я…» вошли статьи, посвященные вопросам, явлениям или событиям, особенно взволновавшим писателя в последние годы.
Книга известного американского популяризатора науки Мартина Гарднера, посвященная логическим и математическим парадоксам.Рассчитана на самый широкий круг читателей.
Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.