Досуги математические и не только - [4]

раз, во второй; затем проведём черту под вторым столбцом и приплюсуем это новое значение, вычитая из результата число, только что введённое в первую колонку, увеличенное в tⁿ раз; а затем просуммируем первую колонку, вписывая результат в графу «Частное». Если число вверху второй колонки меньше, чем делитель, то число в первой колонке можно вносить в «Частное» сразу же. Число, внесённое в графу «Частное», и число в самом низу второй колонки суть наши частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Теперь возьмём число, что в самом низу второй колонки, как новый второй период, и третий период как новый второй период и продолжим как ранее.

Верхний пример, решаемый в соответствие с этим Правилом, будет выглядеть так:

Ход рассуждения при этом следующий.

Делим число 5984 на 7, внося частное, 854, в первый столбец и помещая остаток, 6, над вторым периодом. Затем прибавляем к 6407 утроенное 854, внося результат во второй столбец следующим образом. «7 и 12 будет 19». Вносим 9, 1 в уме. «1 и 15 будет 16». Вносим 6, 1 в уме. «5 и 24 будет 29». Вносим 9, 2 в уме, которое, прибавленное к префиксу 6, даёт 8, которое также вносим. Отметив для себя, что это 8969 не меньше, чем наш делитель, и что оно содержит этот делитель единожды, вносим 1 в первый столбец, трижды 1 — во второй, затем проводим снизу черту и приплюсовываем это новое значение, не забывая вычесть из результата  усемерённое t³, то есть 7000; в итоге получаем 1972. Затем суммируем первый столбец снизу вплоть до двойной черты и вносим результат, 855, в графу «Частное». Теперь берём 1972 как новый первый период, а третий период, 103, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом [8]. Проводим двойную черту под 1972 и делим его на 7, внося частное от деления, 281, под двойную черту, а остаток, 5, ставя над третьим периодом. Затем прибавляем к 5103 утроенное 281, внося результат, 5946, в третий столбец; отмечаем для себя, что он меньше делителя. Затем суммируем второй столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 281, в графу «Частное». Теперь берём 5946 как новый первый период, а конечный период, 826, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом. Проводим двойную черту по 5946 и делим его на 7, внося частное, 849, под двойную черту, а остаток, 3, ставя над конечным периодом. Теперь прибавляем к 3826 утроенное 849, внося результат, 6373, который, как можно было предвидеть, непременно будет меньше делителя, в ячейку «Остаток». Затем суммируем третий столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 849, конечным периодом в графу «Частное».

Было бы неплохо разъяснить действительную сущность трёх процедур, описанных в девятом предложении предыдущего абзаца, а именно 1) вносим 1 в первый столбец, 2) трижды 1 — во второй, 3) приплюсовываем это новое значение, не забывая вычесть 7000. Сущность 2) и 3), взятых в совокупности, заключается в увеличении второго столбца на 3 и в уменьшении его на 7000, то есть в уменьшении его на 7000 – 3, что равняется 6997. Сущность же 1) заключается в оправдании этого 6997, вычтенного, таким образом, из остатка (а последний тем самым оказался сведён к настоящему остатку), добавлением единицы к частному (которое, таким образом, превращается в настоящее частное).

Правило для случая (3) при знаке «+» может быть выведено из вышеизложенного правила простой заменой знака при k. Это, однако, вводит одно новое явление, которое должно быть предусмотрено следующей дополнительной оговоркой.

Когда вы прибавляете ко второму периоду, [взятому вместе] с его префиксом, число из первого столбца, увеличенное в (– k) раз, то есть когда вы вычитаете увеличенное в k раз это число из второго периода, [взятого вместе] с его префиксом, иногда может случиться так, что вычитаемое превосходит уменьшаемое. В этом случае вычитание будет оканчиваться цифрой-минус, которую можно пометить звёздочкой. Теперь ищем, какое количество наших делителей следует прибавить ко второму столбцу, чтобы погасить эту цифру-минус, и вносим это количество, помеченное звёздочкой, в первый столбец, а это кратное нашего делителя — во второй; затем проводим черту под вторым столбцом и приплюсовываем это новое значение.

В качестве примера возьмём новое делимое, но оставим прежний делитель, изменив знак при k, так что делителем станет число 7003 (то есть 7t³ + 3). Наша задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так:

По окончании решения вид у неё будет такой:

Начало хода рассуждения таково.

Делим 6504 на 7 и вносим частное от деления, 929, в первый столбец, а остаток, 1, пишем поверх второго периода. Затем вычитаем из 1318 утроенное 929, внося результат во второй столбец следующим образом. «27 из 8 [вычесть] нельзя, но 27 из 28 будет 1». Вносим 1, занятое 2 в уме. «8 из 1 [вычесть] нельзя, но 8 из 11 будет 3». Вносим 3, занятое 1 в уме. «28 из 3 [вычесть] нельзя, но 28 из 33 будет пять». Вносим 5, занятое 3 в уме. «3 из 1 будет минус 2». Вносим его со звёздочкой. Отметив, что для погашения этого