Дискретная математика без формул - [8]
Отображение земной поверхности НА карту не просто ставит всем элементам одного множества элементы другого. Но, кроме того, если между двумя элементами первого множества существует отношение «выше», то между их образами во втором множестве имеет место отношение «коричневее». Естественно, если точки земной поверхности лежат на одной высоте, то они отобразятся в точки карты с одинаковой коричневостью.
Такое отображение называется ГОМОМОРФНЫМ. Или говорят, что между этими множествами существует ГОМОМОРФИЗМ.
Вернемся к тому, что слово не очень благозвучное, а по американским меркам и громоздкое. Поэтому последнее время все чаше используется более короткий (усеченный) термин – МОРФИЗМ.
Морфизмы играют в математике исключительную роль. Коль скоро математику не без оснований часто отождествляют с математическим моделированием, то приведем афоризм из одной умной философской книжки: ХОРОШАЯ МОДЕЛЬ ВСЕГДА ГОМОМОРФНА.
Афоризм в конце лекции провоцирует размышления. Чего бы и хотелось добиться…
Лекция 5. ОСОБЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Каждое конкретное отношение обладает сразу совокупностью свойств. Полезно исследовать группы отношений, у которых совокупности свойств одинаковые.
Прежде всего к таковым относятся отношения ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. Это отношения, которые одновременно обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение «равенства» чисел – самый простой пример эквивалентности. Или «учиться в одной студенческой группе».
Интересно, что каждый об'ект эквивалентен сам себе хотя бы потому, что для самого невероятного об'екта, который ни на что не похож, по отношении к самому себе выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность. Обычно же об'екты не столь уникальны и имеют место множества (любят говорить КЛАССЫ) эквивалентных между собой об'ектов.
Самое важное свойство отношения эквивалентности (то есть свойство отношения, которое само определено с помощью трех вышеупомянутых свойств) покажем на примере. Если взять первозданный хаос, то есть все множество студентов университета, которые болтаются по коридорам, сидят в буфете или в аудиториях, а еще лучше дома или вообще неизвестно где, то отношение «учиться в одной группе» РАЗБИВАЕТ это множество на подмножества-группы. Каждый студент принадлежит какой-то группе и не может принадлежать сразу двум. (В реальной жизни возможны исключения из этих очевидных свойств, но мы по умолчанию рассматриваем лишь нормальных студентов).
В качестве лабораторной работы по разбиению рекомендуется разбить тарелку. Желательно, из китайского фарфора. А потом созерцать осколки, каждый из которых будет для фарфоринок классом эквивалентности применительно к отношению «принадлежать одному и тому же осколку»… Это лучше, чем разбивать группы, тем более, что ортодоксальные алгебраисты под «группой» понимают не кучу студентов, а нечто фундаментальное математическое… Но это уже начало другой романтической истории про молоденького французского гения и (увы) дуэлянта – Эвариста Галуа.
Заметную роль в математике играют и отношения ПОРЯДКА, обладающие свойствами транзитивности и антисимметричности. Нарушение любого из них нарушает порядок не только с точки зрения математики, но и здравого смысла.
Примеры. «Быть больше» на множестве чисел, «быть после» в очереди, «быть старше по званию» в армии.
Дополнительно, если порядки обладают свойством полноты, то их называют СОВЕРШЕННЫМИ. Например, «больше», на множестве действительных чисел.
Если отношение еще и рефлексивно, то порядок называют НЕСТРОГИМ (ЧАСТИЧНЫМ). Например, «выть выше или равного роста». А предыдущие три примера – это отношения СТРОГОГО (ЛИНЕЙНОГО) порядка, поскольку в них имеет место антирефлексивность.
Отрадно то, что теоретико-множественные отношения порядка как правило совпадают с житейским представлением об упорядочении. Но не всегда. Знаменитое отношение «быть братом» с одной стороны очень похоже на отношение порядка. Иван брат Марьи, но Марья не брат Петра – вроде(!) антирефлексивность. Если Иван брат Петра, а Петр брат Марьи, то Иван брат Марьи. Вроде бы(!) транзитивность. Но, если Иван брат Петра, то и Петр брать Ивана – то есть с анитисимметричностью все-таки не получается. Хуже того, если Иван брат Петра, а Петр брать Ивана, то по свойству транзитивности придем к заключению, что Иван брат Ивана. А чтобы не возникал такой абсурдный результат, отношение «быть братом» признается нетранзитивным.
Более интересными являются другие отношения, очень похожие на отношения порядка. Например, «быть немного выше ростом». Это антисимметричное, но нетранзитивное отношение. Иван немного выше ростом Петра, Петро немного выше ростом Егора. Но Иван намного выше ростом Егора. Отношения, похожие на отношения порядка, но не обладающие свойством транзитивности, называют отношениями ТОЛЕРАНТНОСТИ. Хорошей иллюстрацией этого отношения служат многие известные картинки Эшера, где, например, ящерицы «плавно» превращаются в птиц и т.п.
Отношения частичного порядка, то есть рефлексивные, антисимметричные и транзитивные, на которые накладывают ряд дополнительных свойств, изучаются в рамках раздела математики с экзотическим названием
Эта книга – о «выдающихся» ворах и грабителях. О тех, кто прославил свое имя на крови либо благодаря хитроумным комбинациям и отчаянной наглости. Для них мало значила человеческая жизнь, на первом месте стоял азарт и жажда наживы.Как они становились преступниками и как их ловили? Что привело их к воровству и к чему привело воровство? Как наказывает грабителей суд человеческий и как карает их суд Божий?..Станьте соучастником захватывающих авантюр, где сплелось все: воровская любовь и любовь к воровству; страшное, смешное, глупое и грустное; преступление и наказание…
Эта книга – о крупнейших российских предпринимателях, в прошлом сильных мира сего, ставших изгоями в своем отечестве. Одни из них вынуждены скрываться на чужбине, другие отбывают или уже отбыли срок в местах заключения за преступления реальные или мнимые, третьих нет в живых. Эти люди – первопроходцы российского бизнеса, люди неоднозначные, но, безусловно, яркие, сильные и умные. Но, по сути, сегодня им нет места в нашем обществе.Почему и как это случилось – расскажет наша книга. Впечатляющие истории, собранные здесь, – не огульные обвинения или нападки на предпринимателей, а рассказ о живых людях и сложных, неоднозначных, порой печальных и постыдных сторонах и свойствах российского бизнеса, судопроизводства и власти.Книга для широкого круга читателей.
В этой книге собраны опубликованные в разное время в журнале «Коммерсантъ. Деньги» в рубрике «Story» истории жизни тех, кто в разные времена повелевал умами, кошельками, душами, да и жизнями тысяч, а то и миллионов людей. Наши герои жили в разные эпохи, их свершения можно оценивать по-разному - кто-то оставил после себя выдающиеся произведения искусства или россыпь новых технологий, кто-то - основополагающую теорию или глобальную идею, а кто-то - развалины мифа или потрясающую по размаху, эффективности и жестокости преступную империю.
Третья книга - сборник статей из рубрики STORY журнала «Коммерсантъ ДЕНЬГИ» - в отличие от первых двух обращается не к судьбам отдельных людей или компаний, а к событиям глобального масштаба, раз и навсегда изменившим уклад, традиции, сами основы существования целых обществ, стран и континентов.Неудивительно, что весьма драматичную роль во всех этих историях играли деньги, причем порой самым неожиданным образом. Кто на самом деле разбогател на золотой лихорадке? Чьим экономическим интересам угрожал Павел I? Как быстро можно уничтожить весь Интернет? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете в книге «знаковые моменты».Повседневная жизнь обычно проплывает перед нашими глазами неторопливой чередой малозначимых событий и почти бессмысленной суеты.
Продолжение бизнес-бестселлеров «Бизнес есть бизнес» и «Бизнес есть бизнес 2», победителей премии «Бизнес-книга года» журнала «Свой бизнес» 2006 года. Эта книга о тех, кто всегда понимался с колен, какой бы сильный удар ни пришлось им получить, о тех, кто всегда готов начинать свое дело с нуля снова и снова, не умеет сдаваться, ломаться под давлением обстоятельств. Герои книги уверены, что свой шанс преуспеть есть практически у каждого. Что для этого необходимо? Да ничего нового - вера в себя, упорный труд и толика удачи.
Эта книга – о самых масштабных или просто жутких катастрофах, когда-либо обрушивавшихся на человечество.Эпидемии и стихийные бедствия, войны и аварии с завидной регулярностью разрушали и разрушают, убивали и убивают, ставя под угрозу само существование человечества или, по крайней мере, значительной его части.Что удивительно, самые разнообразные беды и напасти обнаруживают пугающе сходные характеристики… Как итог, пять глав, которые авторы объединили в книгу, по сути, повествуют о фактическом противостоянии человека и окружающего мира.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.