Большая Советская Энциклопедия (ВЕ) - [34]

  Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1 ), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора a обозначается |a |. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.

  В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а +b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2 ). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3 ), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4 . Произведением aа вектора а на число a называется вектор, коллинеарный вектору а , имеющий длину, равную la l^. la l, и направление, совпадающее с направлением а при a > 0 и противоположное а при a < 0. Вектор —1 · а называется противоположным вектору а и обозначается —а . Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:

  1) а +b =b +a ,

  2) (a +b ) +c =a + (b + c ),

  3) а +0 = а ,

  4) a + (-a ) =0 ,

  5) 1 · a =a ,

  6) a (ba ) = (ab )a ,

  7) a (a +b ) = aа + ab ,

  8) (a + b )a = aa + ba .

  В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a₁ , a₂ , ..., a _n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа a₁ , a₂ ,..., a_n из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (a₁a₁ +... + a_na_n ) этих векторов равна нулю. Векторы a₁ , a₂ ,...,a_n , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.

  Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, векторное пространство . Линейно независимые векторы e₂ , e₂ , e₃ , образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe₂ + Ye₂ + Ze₃ ; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z , то это записывают так: а = íX, Y, Z ý. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k , образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5 ). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íX₂ , Y₂ , Z₂ ý, то координаты суммы а +b этих векторов равны íX₁ + X₂ , Y₁ + Y₂ , Z₁ + Z₂ ý, координаты вектора la равны ílX₁ + lY₁ + lZ₁ ý.

  Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S : работа равна |F ||S |cosj, где j — угол между векторами F и S . Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а , b ) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

  (a , b ) = |a ||b |cosj.

  Величина |b |cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а , и обозначается пр_a b . Поэтому (a, b ) = |a |пр_a b . В частности, если a — единичный вектор (|a | = 1 ), то (а, b ) = пр_a b . Очевидны следующие свойства скалярного произведения:

  (а , b ) = (b , а ), (lа , b ) = l (а , b ),

  (а +b , с ) = (а , с ) + (b , с ), (a , а ) ³ 0,

  причём равенство нулю имеет место лишь приa =0 . Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íХ₂ , Y₂ , Z₂ ý, то     (a , b ) = X₁ X₂ + Y₁ Y₂ + Z₁ Z_2,

 

  Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а— первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На