Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - [4]

  Лит.: История Эстонской ССР, т. 1, Тал., 1961; Johansen P., Die Estlandliste des Liber census Daniae, Kph. — Reval, 1933.

Ряд активностей

Ряд акти'вностей, то же, что ряд напряжений.

Ряд (математич.)

Ряд, бесконечная сумма, например вида

u₁ + u₂ + u₃ +... + u_n +...

или, короче,

.     (1)

  Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + q + q ² +...+ q ⁿ +... = 1/(1 - q), ½q½< 1.     (2)

  Р. широко используются в математике и её приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближённых численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Р., с помощью которых удобно вычислять их приближённые значения с нужной точностью. Например, для числа p имеется Р.

,     (3)

для основания е натуральных логарифмов — Р.

,     (4)

а для натурального логарифма In2 — ряд

.

  Метод разложения в Р. является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближённых значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.

  При численных расчётах, когда Р. заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку «скорости сходимости» Р.). При этом целесообразно использовать Р., у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n. Например, в случае Р. (4) оценка указанной погрешности имеет вид 0 < е — s_n<1/n! n.

  Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Р. (3), имеются и другие Р., например

,

однако он сходится значительно «медленнее» Р. (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления числа p. Существуют методы преобразования Р., иногда улучшающие скорость сходимости Р.

  На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р.

1 - 1 + 1 - 1 +...     (5)

и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.

  Числовые ряды. Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {u_n} и {S_n} таких, что S_n= u₁ +... + u_n, n = 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее S_n называется частичной суммой n-го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {S_n}. В этом случае предел

называется суммой Р. и пишется

  Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {s_n} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены u_n этого Р. определяются по формулам u₁= s₁,..., u_n+1= s_n+1 — s_n,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.

  Р.

 называется остатком порядка n Р. (1). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка n Р. (1) сходится и его сумма равна r_n, то s = s_n + r_п.

  Если Р. (1) и Р.

сходятся, то сходится и Р.

,

называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.

,

называемый произведением Р. на число l, также сходится и

.

  Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n_e, что при любом n ³ n_e и любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство

.

  Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то

  Обратное неверно: n-й член так называемого гармонического ряда

стремится к нулю, однако этот Р. расходится.

  Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то

,

поэтому в этом случае пишут

.

Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.

  Интегральный признак сходимости: если функция f (х)