Большая Советская Энциклопедия (МО) - [26]

.)

  В естественных науках (например, в физике, химии) следуют обычно первому из упомянутых пониманий термина, называя М. какой-либо системы её описание на языке некоторой научной теории (например, химическую или математическую формулу, уравнение или систему уравнений, фрагмент теории или даже всю теорию в целом). В таком же смысле говорят и о «моделях языка» (см. Модели в языкознании), хотя в настоящее время всё чаще следуют второму пониманию, называя М. некоторую языковую реальность, противопоставляя эту реальность её описанию — лингвистической теории. Впрочем, оба понимания могут и сосуществовать; например, релейно-контактные схемы используют в качестве «экспериментальных» М. формул (функций) алгебры логики , последние же, в свою очередь, — как «теоретические» М. первых.

  Такая многозначность термина становится понятной, если учесть, что М. в конкретных науках так или иначе связываются с применением моделирования, т. е. с выяснением (или воспроизведением) свойств какого-либо объекта, процесса или явления с помощью другого объекта, процесса или явления — его «М.» (типичные примеры: «планетарная» М. атома и концепция «электронного газа», апеллирующие к более наглядным — точнее, более привычным — механическим представлениям). Поэтому первое естественно возникающее требование к М. — это полное тождество строения М. и «оригинала». Требование это реализуется, как известно, в условии изоморфизма М. и «моделируемого» объекта относительно интересующих исследователя их свойств: две системы объектов (в интересующем нас сейчас случае — М. и «оригинал») с определёнными на них наборами предикатов, т. е. свойств и отношений (см. Логика предикатов ) называемых изоморфными, если между ними установлено такое взаимно-однозначное соответствие (т. е. каждый элемент любой из них имеет единственного «напарника» из числа элементов другой системы), что соответствующие друг другу объекты обладают соответствующими свойствами и находятся (внутри каждой системы) в соответствующих отношениях между собой. Однако выполнение этого условия может оказаться затруднительным или ненужным, да и вообще настаивать на нём неразумно, поскольку никакого упрощения исследовательской задачи, являющейся важнейшим стимулом для моделирования, использование одних лишь изоморфных М. не даёт. Т. о., на следующем уровне мы приходим к представлению о М. как об упрощённом образе моделируемого объекта, т. е. к требованию гомоморфизма М. «оригиналу». (Гомоморфизм, как и изоморфизм, «сохраняет» все определённые на исходной системе свойства и отношения, но, в отличие от изоморфизма, это отображение, вообще говоря, однозначно лишь в одну сторону: образы некоторых элементов «оригинала» в М. оказываются «склеенными» — подобно тому, как на сетчатке глаза или на фотографии сливаются в одно пятно изображения близких между собой участков изображаемого предмета.) Но и такое понимание термина «М.» не является окончательным и бесспорным: если мы преследуем цель упрощения изучаемого объекта при моделировании в каких-либо определённых отношениях, то нет никакого резона требовать, чтобы М. была во всех отношениях проще «оригинала» — наоборот, имеет смысл пользоваться любым, сколь угодно сложным арсеналом средств построения М., лишь бы они облегчали решение проблем, ставящихся в данном конкретном случае. Поэтому к максимально общему определению понятия «М.» можно прийти, допуская сколь угодно сложные М. и «оригиналы» и требуя при этом лишь тождества структуры некоторых «упрощённых вариантов» каждой из этих систем. Иными словами, две системы объектов А и В мы будем теперь называть М. друг друга (или моделирующими одна другую), если некоторый гомоморфный образ А и некоторый гомоморфный образ В изоморфны между собой. Согласно этому определению, отношение «быть М.» обладает свойствами рефлексивности (т. е. любая система есть своя собственная М.), симметричности (любая система есть М. каждой своей М., т. е. «оригинал» и М. могут меняться «ролями») и транзитивности (т. е. модель модели есть М. исходной системы). Т. о., «моделирование» (в смысле последнего из наших определений понятия «М.») является отношением типа равенства (тождества , эквивалентности ), выражающим «одинаковость» данных систем (относительно тех их свойств, которые сохраняются при данных гомоморфизмах и изоморфизме). То же, конечно, относится и к первоначальному определению М. как изоморфного образа «оригинала», в то время как отношение гомоморфизма (лежащее в основе второго из данных выше определений) транзитивно и антисимметрично (М. и «оригинал» не равноправны!), порождая тем самым иерархию М. (начиная с «оригинала») по понижающейся степени сложности.

  М., применяемые в современных научных исследованиях, впервые были в явном виде использованы в математике для доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского относительно геометрии Евклида (см. Неевклидовы геометрии , Аксиоматический метод ). Развитый в этих доказательствах т. н. метод интерпретации получил затем особенно широкое применение в аксиоматической теории множеств. На стыке алгебры и математической логики сформировалась специальная дисциплина —