Большая Советская Энциклопедия (МН) - [30]

множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства , изучением которых занимается общая топология . Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная французскими математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (B -множеств). Борелевские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в которых входящая в Бэра классификацию действительная функция f (x ) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию вида а < f (x ) £ b . Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. было осуществлено преимущественно русскими и польскими математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Суслиным для построения теории А -множеств, охватывающих как частный случай борелевские (или В -) множества (считавшиеся до того единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество, дополнительное к А -множеству М , является само А -множеством только в том случае, когда множество М — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом А -множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория А -множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теории А -множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).

  Значение М. т. Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

  Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классических частях математики. Например, в области математического анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.

  Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики или таких её больших отделов, как геометрия . Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математическая теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана.

  Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см. Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств , Логика , Конструктивная математика , Континуум ).

  Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.

  П. С. Александров.

Множественные процессы

Мно'жественные проце'ссы, рождение большого числа вторичных сильно взаимодействующих частиц (адронов ) в одном акте столкновения частиц при высокой энергии. М. п. характерны для столкновения адронов, однако в редких случаях они наблюдаются и при столкновениях других частиц, если их энергия достаточна для рождения нескольких адронов (например, при электронных столкновениях на ускорителях со встречными пучками). При столкновениях адронов с энергией выше нескольких Гэв М. п. доминируют над процессами одиночного рождения мезонов и упругого рассеяния частиц. Впервые М. п. наблюдались в