Большая Советская Энциклопедия (МН) - [28]

  Ещё до создания М. т. Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n , то получим (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М , тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р . Дедекинд ).

  Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо А есть правильная часть, равномощная В , но в В нет правильной части, равномощной А ; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А , а в А нет правильной части, равномощной В ; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В , и в В есть правильная часть, равномощная А . Доказывается, что в третьем случае множества А и B равномощны (теорема Кантора — Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества А больше мощности множества В , во втором — что мощность множества В больше мощности множества А . A priori возможный четвёртый случай — в А нет правильной части, равномощной В , а в В нет правильной части, равномощной А , — в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).

  Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множество М . Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще n -мерного пространства при любом n . Кантор высказал гипотезу (т. н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема .

  Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества Х и Y , пусть каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f (x ) множества Y ; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y , или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X , а значения у принадлежат множеству Y ; при этом для каждого данного х Î Х элемент у = f (x ) множества Y называется образом элемента х Î Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х .

  Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества Х всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х; у ) соответствует точка (х ; 0).

  2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x Î X положить у = f (x ) = x³ , то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.

  3) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого х Î Х положить у = f (x ) = arctg х , то этим будет установлено отображение множества Х на интервал ( — p/2, p/2).

  (1—1)-соответствие между двумя множествами Х и Y есть такое отображение множества