Большая Советская Энциклопедия (КР) - [9]

— дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).

  Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n —1)-мерной гиперповерхностью, D — линейным дифференциальным оператором второго порядка

,

а

,

где A_{i, j}, B_i, C, F, f — заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же

,

где a_i, i = 1,..., n, f — заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a₁,..., a_n) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если

F (x) = 0, f (y) = 0.

  Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

, x Î G

S (6)

где l₁,..., l_n — произвольные действительные параметры, а k₀ и k₁ — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

  При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) £ 0, x Î G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

  Когда D представляет собой оператор Лапласа

, решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале —1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) =

,

где f₁= u (—1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

,

,

где |х—у| — расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) — 5).

  В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

  Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма

в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

  Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

  Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности

,

являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x₁= 0, x₁ = 1, x₂ = 0, x₂ = 1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, x₂) = f (x₂), 0 £ x₂ £ 1

u (x₁,0) = j(x₁), 0 £ x₁ £ 1

u (1, x₂) = y(x₂), 0 £ x₂ £ 1

f (0) = j(0), y(0) = j(1)

при произвольных достаточно гладких данных f, j. y. Следовательно, краевое условие u (x₁,1) = q(x₁), 0£ x₁ £ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ + x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0, x₁ + x₂ = 1, x₁ - x₂ = —1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (x₁, x₁) = f (x₁), 0£ x₁£¹/₂

u (x₁,-x₁) = j(x₁), —¹/₂£ x₁£0

f (0) = j(0)

при произвольных достаточно гладких данных f и j. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x₁,1+x₁), —¹/₂ £ x₁ £ 0, и u (х₁, 1-x₁), 0 £ x₁£¹/₂, не могут быть заданы произвольно.

  Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].

  Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.

  Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.— Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.