Биология в новом свете - [12]

Математическое обоснование тривиального — что это? Опять игра? Отнюдь нет! То, чем мы здесь занимаемся, относится к области бурно развивающейся сейчас нумерической таксономии. Облако точек вытягивается в длину и разделяется — возникает новый вид. Облако плывет — вид изменяется. Облака находятся близко или далеко друг от друга — это характеризует степень родства различных видов. В принципе все эти процессы можно рассчитать. Но здесь не обойтись, конечно, без быстродействующих электронных вычислительных машин.

Измерение плюс вычисление — это только один из возможных путей, ведущих к пониманию формы живого. Сколько нужно цифр чтобы правильно отобразить форму листа, контуры лягушки или панцирь рака? Конечно, с помощью числового метода мы можем охарактеризовать эти формы с большей или меньшей точностью, в зависимости от числа измеряемых параметров. Но это недостойно истинного математика; к тому же каждое новое измерение увеличивает степень многомерности фазового пространства, что делает расчеты неоправданно сложными. Значительно удобнее выявлять формы не по цифрам, а по аналогии. Это значит, что мы ищем математическую кривую, которая соответствует интересующей нас форме, т. е. аналогична ей, и может быть выражена формулой с возможно меньшим количеством постоянных величин, или констант.

Математикам известна такая универсальная формула, или, точнее, функция, которая позволяет математически выразить почти любую кривую, — это так называемый полином. Он записывается в виде ряда, который можно продолжать сколь угодно долго, но математик ограничивается лишь действительно необходимым числом членов, ибо с каждым новым членом полином все усложняется. Уравнение этого ряда выглядит так:

Оно показывает, как изменяется величина у в зависимости от изменения независимо меняющейся величины x. Обычно говорят, что y есть функция от x. Если значения x и у откладывать по осям системы координат, то мы получим кривую. Буквы a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,... обозначают константы, они могут быть положительными и отрицательными, большими, малыми и даже равными нулю. Меняя значения этих констант, математик "изгибает" кривую до тех пор, пока она не примет желаемую форму. Для описания простых кривых достаточно ограничиться малым количеством членов такого полинома. Сколько нужно сделать отдельных измерений, чтобы получить изображенный на рисунке полином четвертой степени, т. е. полином, содержащий член a₄x⁴? Чтобы записать точную формулу, требуется только пять значений, а именно константы a₀, a₁, a₂, a₃ и a₄. Собственно говоря, можно даже обойтись без первого значения, т. е. положить a₀ = 0, тогда ось симметрии листа будет скользить по оси абсцисс. Мы видим, что с каждым новым членом наш полином описывает форму листа несколько точнее. Таким образом, с помощью полинома мы можем описать формы любых объектов независимо от их размеров, а также сравнивать их между собой.

С помощью полинома, универсальной математической формулы, можно получить почти любую кривую. Чем сложнее кривая, тем большее число членов должен включать соответствующий полином. Можно попытаться подобрать полином, описывающий, например, форму листа

'Машинная улитка'. ЭВМ рассчитала форму улитки, которая лучше всего соответствует реальной

Если мы хотим получить замкнутую кривую, то есть представить лист целиком, то гораздо удобнее записать его форму в так называемых полярных координатах как функцию длины и угла вектора, поворачивающегося вокруг координатной оси.

На следующем рисунке показано, как можно с помощью ЭВМ обсчитать раковину улитки. Структуры аммонитов[3], так называемые лопастные, или шовные, линии, можно также выразить математически и соответствующие формулы ввести в память ЭВМ, что позволяет детально анализировать форму структур. Это имеет большое значение в палеонтологии и геологии, поскольку аммониты являются одной из самых важных групп "руководящих" ископаемых в некоторых слоях осадочных пород и по малейшим изменениям формы их лопастных линий можно судить о возрасте геологической породы.

Лопастные линии в раковинах аммонитов. Эти кривые можно выразить математически и ввести в память ЭВМ

Итак, форму живого организма можно не только характеризовать размерам, но и описать математически.

Теперь попытаемся с помощью математических формул представить какой-нибудь биологический процесс, например выразить кривую роста. Уму непостижимо: сначала математическое описание формы, а теперь — биологического процесса! Но это кажется трудным только неспециалисту в силу инертности нашего повседневного мышления, привычки воспринимать лишь то, что мы непосредственно ощущаем органами чувств. Форму, то есть три измерения — длину, ширину и высоту, — мы "видим". А изменение этой формы, иначе говоря, изменение этих трех параметров во времени, мы "переживаем". Мы должны запастись терпением и временем и ждать. Для математика время, выраженное в секундах, часах, днях и т. д., такая же счетная величина, как длина и ширина. Если замысловатую форму растения мы выразили с помощью n параметров, представив ее точкой в n — мерном фазовом пространстве, то нам ничего не стоит добавить к ним (n + 1)-й параметр, время, и рассматривать изменение формы растения, т. е. его рост, как ход кривой в (n + 1)-мерном фазовом пространстве.