Бесконечная сила [заметки]
1
В оригинале используется слово calculus, у которого в русском языке нет однозначного соответствия. В английском языке это слово применяется как для математического анализа или для анализа бесконечно малых в целом, так и для наименования различных областей высшей математики, для которых мы используем слова «анализ» (например, vector calculus – векторный анализ) или «исчисление» (например, differential calculus – дифференциальное исчисление). В данной книге под термином «анализ» будет подразумеваться анализ бесконечно малых, который объединяет интегральное и дифференциальное исчисление. Прим. пер.
2
Калтех – Калифорнийский технологический институт. Частный университет в Калифорнии, один из лучших в США. Прим. пер.
3
Wouk, The Language God Talks, 5.
4
Альтернативное мнение можно найти в книгах: Barrow and Tipler, Anthropic Cosmological Principle; Rees, Just Six Numbers; Davies, The Goldilocks Enigma; Livio, Is God a Mathematician?; Tegmark, Our Mathematical Universe; и Carroll, The Big Picture. С философскими аспектами анализа можно познакомиться в Simon Friederich, Fine-Tuning, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/fine-tuning/.
5
Adams, Hitchhiker’s Guide, и Gill, Douglas Adams’ Amazingly Accurate Answer.
6
В юмористическом фантастическом романе Адамса «Автостопом по галактике» (издана на русском языке: Адамс Д. Автостопом по галактике. М.: АСТ, 2002) специальный суперкомпьютер «Думатель» находит «ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого», и это оказывается 42. Прим. пер.
7
Wouk, The Language God Talks, 6.
8
Герман Воук скончался в мае 2019 года в возрасте 103 лет. Прим. пер.
9
Исторические аспекты проблемы представлены в книгах: Boyer, The History of the Calculus, и Grattan-Guinness, From the Calculus. Dunham, The Calculus Gallery; Edwards, The Historical Development; и Simmons, Calculus Gems, которые рассказывают историю анализа на примере некоторых наиболее красивых задач и их решений.
10
Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics, передают дух, широту и практичность прикладной математики.
11
Kline, Mathematics in Western Culture, и Newman, The World of Mathematics, соединяют математику с более широкой культурой. Я провел много времени в старших классах, читая эти два шедевра.
12
О математике и физике смотрите Maxwell, On Physical Lines of Force, и Purcell, Electricity and Magnetism. О понятиях и истории смотрите Kline, Mathematics in Western Culture, 304–21; Schaffer, The Laird of Physics; и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 11. Биографию Максвелла и Фарадея смотрите в книге: Forbes and Mahon, Faraday, Maxwell.
13
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 8.
14
В оригинале Truth in, truth out – каламбурная отсылка к фразе Wine in, truth out, что примерно соответствует нашей пословице «что у трезвого на уме, то у пьяного на языке». Прим. пер.
15
Einstein, Physics and Reality, 51. Этот афоризм часто передают так: «Самая непостижимая вещь во Вселенной – то, что она постижима». Другие примеры цитат Эйнштейна, подлинных или приписываемых ему, смотрите в книгах: Calaprice, The Ultimate Quotable Einstein, и Robinson, Einstein Said That.
16
Wigner, The Unreasonable Effectiveness; Hamming, The Unreasonable Effectiveness; и Livio, Is God a Mathematician? См. https://coollib.net/b/322251/
17
Перевод Ю. А. Данилова. Прим. пер.
18
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 4–5; Burkert, Lore and Science; Guthrie, Pythagorean Sourcebook; и C. Huffman, Pythagoras, https://plato.stanford.edu/archives/sum2014/entries/pythagoras/. Martínez в книгах Cult of Pythagoras и Science Secrets развенчивает многие мифы о пифагорейцах с осторожностью и уничижительным юмором.
19
Here Comes the Bride – популярный на Западе свадебный марш, звучащий во время выхода невесты. Тема взята из оперы «Лоэнгрин» Рихарда Вагнера. Прим. пер.
20
Katz, History of Mathematics, 48–51, и Burton, History of Mathematics, раздел 3.2, обсуждают пифагорейскую математику и философию.
21
И английское слово difference («разница, различие»), и термин «дифференциальный» восходят к латинскому слову differentia («разность, различие»). Прим. пер.
22
И английское слово integrate («объединять»), и термин «интегральный» восходят к латинскому слову integеr («целое»). Прим. пер.
23
Когда альпинисту Джорджу Мэллори задали вопрос, зачем он хочет подняться на Эверест, он ответил: «Потому что он существует». Прим. пер.
24
Исаак Ньютон родился 25 декабря 1642 года по юлианскому календарю (4 января 1643 года – по григорианскому). Прим. пер.
25
Ball, A Century Ago Einstein Sparked, и Pais, Subtle Is the Lord. Оригинальная статья: Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung.
26
Усиление света посредством вынужденного излучения. Прим. пер.
27
Burton, History of Mathematics, и Katz, History of Mathematics, дают полномасштабное (хотя и без подробностей) введение в историю математики от античных времен до XX столетия. На более серьезном математическом уровне тема представлена в Stillwell, Mathematics and Its History. В качестве масштабного гуманистического подхода подойдет книга Kline, Mathematics in Western Culture.
28
Смотрите раздел 4.5 в книге Burton, History of Mathematics; главы 2 и 3 в книге: Katz, History of Mathematics; главу 4 в книге Stillwell, Mathematics and Its History.
29
Katz, History of Mathematics, раздел 1.5, представляет различные подходы к измерению площади круга, сделанные в различных мировых культурах. Первое доказательство было представлено Архимедом; смотрите Dunham, Journey Through Genius, глава 4, и Heath, The Works of Archimedes, 91–93.
30
Henry Mendell, Aristotle and Mathematics, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/aristotle-mathematics/.
31
Katz, History of Mathematics, 56, и Stillwell, Mathematics and Its History, 54, обсуждают аристотелевскую разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной бесконечностью.
32
Опираясь на новые свидетельства, Martínez, Burned Alive, утверждает, что Бруно был сожжен за свою космологию, а не за теологию. Смотрите также A. A. Martínez, Was Giordano Bruno Burned at the Stake for Believing in Exoplanets? Scientific American (2018), https://blogs.scientificamerican.com/observations/was-giordano-bruno-burned-at-the-stake-for-believing-in-exoplanets/. Также смотрите D. Knox, Giordano Bruno, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/bruno/.
33
Эссе Рассела о Зеноне и бесконечности Mathematics and the Metaphysicians, воспроизведено в книге Newman, The World of Mathematics, vol. 3, 1576–90.
34
Всего в античных трудах упоминается 40 апорий Зенона, но до наших дней дошло 9. Прим. пер.
35
Mazur, Zeno’s Paradox. Смотрите также Burton, History of Mathematics, 101–2; Katz, History of Mathematics, раздел 2.3.3; Stillwell, Mathematics and Its History, 54; John Palmer, Zeno of Elea, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/; и Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/.
36
От лат. discretus «отделенный, раздельный». Прим. пер.
37
Скет – вид вокализа, когда голос используется для имитации музыкального инструмента. Прим. пер.
38
Greene, The Elegant Universe, главы 4 и 5.
39
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 14.
40
ħ – постоянная Дирака (постоянная Планка – Дирака, приведенная постоянная Планка [видимо, поэтому ее часто называют не «с чертой», а «с планкой»]). Связана с постоянной Планка ℎ (основной константой квантовой теории) соотношением ħ = ℎ/2π Используется вместо постоянной Планка, чтобы в формулах пропадало часто встречающееся число 2π Прим. пер.
41
Greene, The Elegant Universe, 127–31, объясняет, почему физики полагают, что на ультрамикроскопическом уровне планковской длины пространство распадается в квантовую пену. Философскую точку зрения смотрите в: S. Weinstein and D. Rickles, Quantum Gravity, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/quantum-gravity/.
42
Разумеется, если отвлечься от расстояний, то нам могут понадобиться и большие числа. Скажем, если мы пожелаем сравнить планковский объем (то есть объем крохотного кубика со стороной в планковскую длину) и объем Вселенной. Поскольку объем пропорционален третьей степени длины, то вместо числа 60 получится примерно число 180. По другим оценкам, диаметр Вселенной составляет 1,4∙10>62 планковских длин, а объем – 4,5∙10>185 планковских объемов. Прим. пер.
43
Очерки о его жизни смотрите в Netz and Noel, The Archimedes Codex, и C. Rorres, Archimedes, https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/contents.html. Научную биографию смотрите в работе M. Clagett, Archimedes, в книге Gillispie, Complete Dictionary, vol. 1, с дополнениями, сделанными Ф. Ачерби (F. Acerbi) в томе 19. Математика Архимеда имеется в выдающихся книгах Stein, Archimedes, и Edwards, The Historical Development, глава 2, также смотрите Katz, History of Mathematics, разделы 3.1–3.3, и Burton, History of Mathematics, раздел 4.5. Собрание работ Архимеда представлено в книге Heath, The Works of Archimedes.
44
Martínez, Cult of Pythagoras, глава 4, знакомит с происхождением многих легенд об Архимеде, включая рассказ об «Эврике» и трагическую историю его смерти от руки римского солдата во время осады Сиракуз в 212 году до нашей эры. Хотя вполне вероятно, что Архимед погиб во время этой осады, нет никаких оснований полагать, что его последними словами были: «Не трогай мои круги!»
45
Плутарх цитируется по переводу «Марцелла» Джона Драйдена, доступному онлайн на http://classics.mit.edu/Plutarch/marcellu.html. Конкретные фрагменты об Архимеде и осаде Сиракуз также доступны на сайте https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Siege/Plutarch.html.
46
Плутарх. Сравнительные жизнеописания. Марцелл. Перевод С. П. Маркиша. Прим. пер.
49
Рассказ об «Эврике» в том виде, в котором он был впервые изложен Витрувием, на латинском и английском языках, можно найти на сайте https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/Vitruvius.html. На сайте также есть детский вариант этой истории в изложении писателя Джеймса Болдуина, взятый из книги Thirty More Famous Stories Retold (New York: American Book Company, 1905). К сожалению, Болдуин и Витрувий представляют архимедово решение задачи о золотой короне в чрезмерно упрощенном виде. Rorres предлагает более правдоподобный расчет на https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html, а также догадки Галилея о том, как Архимед мог решать эту задачу: https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/bilancetta.html.
50
Плутарх. Сравнительные жизнеописания. Марцелл. Перевод С. П. Маркиша. Прим. пер.
52
Stein, Archimedes, глава 11, подробно показывает, как Архимед это делал. Приготовьтесь получить некую порцию скучной арифметики.
53
Автор называет многоугольником и замкнутую ломаную из нескольких точек и соединяющих их отрезков, и плоскую фигуру, которая ограничена такой ломаной. Прим. пер.
54
Традиция приписывает открытие несоизмеримых отрезков пифагорейцу Гиппасу (V век до нашей эры). Однако неизвестно, какие именно несоизмеримые отрезки он рассматривал. Прим. пер.
55
Никто не знает, кто первым доказал, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом или (что эквивалентно) диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Известна старая байка, что за это бросили в море пифагорейца Гиппаса. Martínez, Cult of Pythagoras, глава 2, прослеживает происхождение этого мифа и опровергает его. То же самое делает американский кинематографист Эррол Моррис в длинном и чрезвычайно странном эссе в New York Times; смотрите Errol Morris, The Ashtray: Hippasus of Metapontum (Part 3), New York Times, March 8, 2001, https://opinionator.blogs.nytimes.com/2011/03/08/the-ashtray-hippasus-of-metapontum-part-3/.
56
Предполагается, что число π нормально, то есть с одинаковой асимптотической частотой в нем встречаются все цифры, все комбинации из двух цифр, из трех цифр и вообще из любого числа цифр. В частности, это означает, что в нормальном числе рано или поздно встретится любая заданная последовательность цифр (например, номер вашего телефона или закодированная числами полная Британская энциклопедия). Однако пока нормальность π не доказана. Прим. пер.
57
Перевод оригинального текста Архимеда содержится в книге: Heath, The Works of Archimedes, 233–52. Подробности рассуждения с треугольными осколками, которые я обошел вниманием, смотрите в книгах: Edwards, The Historical Development, 35–39; Stein, Archimedes, глава 7; Laubenbacher and Pengelley, Mathematical Expeditions, раздел 3.2; и Stillwell, Mathematics and Its History, раздел 4.4. Много обзоров на эту тему можно найти в интернете. Один из самых понятных принадлежит Марку Ридеру (Mark Reeder) и представлен на сайте на сайте https://sites.google.com/bc.edu/mark-reeder/publications?authuser=0. Другой, авторства Р. А. Г. Сили (R. A. G. Seely), находится по адресу http://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf. Возможно, более простым вам покажется подход с помощью аналитической геометрии, который использует Simmons, Calculus Gems, раздел B.3.
58
Архимед не был первооткрывателем параболы и других конических сечений. Традиционно считается, что это сделал древнегреческий математик Менехм (примерно 380–320 до нашей эры). Прим. пер.
59
Arthur Conan Doyle, The Sign of the Four (London: Spencer Blackett, 1890), https://www.gutenberg.org/files/2097/2097-h/2097-h.htm.
60
Практически все труды Архимеда содержатся в его письмах. Прим. пер.
61
Оригинал текста смотрите в книге: Heath, The Works of Archimedes, 326 и далее. Применение метода к квадратуре параболы можно найти в книгах Laubenbacher and Pengelley, Mathematical Expeditions, раздел 3.3, и Netz and Noel, The Archimedes Codex, 150–57. Применение метода к некоторым другим задачам о площадях, объемах и центрах тяжести смотрите в книгах: Stein, Archimedes, глава 5, и Edwards, The Historical Development, 68–74.
62
Полное название этой работы Архимеда – «Метод механических теорем». Автор называет методом и саму работу, и содержащийся в ней способ решения задач. Прим. пер.
63
Цитируется по книге: Stein, Archimedes, 33.
64
Цитируется по книге: Netz and Noel, The Archimedes Codex, 66–67.
65
Heath, The Works of Archimedes, 17.
66
Dijksterhuis, Archimedes, 317.
67
Heath, The Works of Archimedes, 17.
68
Stein, Archimedes, 39–41.
69
Heath, The Works of Archimedes, 1.
70
«Прошлое – чужая страна, здесь все по-другому» – первая фраза романа Лесли Хартли «Посредник» (1953). Впоследствии выражение «прошлое – чужая страна» стало названием книги Дэвида Лоуэнталя (1985). Прим. пер.
71
Кроме «Метода математических теорем», палимпсест содержит еще несколько работ Архимеда, из которых две («Стомахион» и «О плавающих телах») также сохранились только в этом документе. Прим. пер.
72
Смотрите Netz and Noel, The Archimedes Codex; авторы с пафосом излагают историю утерянной рукописи и ее повторного обнаружения. Этому событию посвящен эпизод американского научно-популярного документального сериала Nova, а сопутствующий сайт содержит хронологию, интервью и интерактивные инструменты; смотрите http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/, а также Stein, Archimedes, глава 4.
73
Документ, хранившийся в лавре, был известен и раньше. Греческий текст в нем заметили еще в 1840-х годах. То, что текст принадлежит Архимеду, установил в 1906 году датский ученый Йохан Гейберг, который сфотографировал и издал эти работы в собрании сочинений Архимеда в 1910–1915 годах. После этого палимпсест выпал из истории и всплыл только на аукционе Christie’s. К сожалению, к этому времени оказалось, что уже в XX веке некоторые страницы пропали, а один из владельцев добавил несколько иллюстраций, навсегда испортивших текст под ними. С 1998 года началось активное изучение документа. Прим. пер.
74
Rorres, Archimedes in the Twenty-First Century.
75
О математике, которая стоит за фильмами, созданными с помощью компьютерных технологий, смотрите книгу McAdams et al., Crashing Waves.
76
Zorin and Schröder, Subdivision for Modeling, 18.
77
DreamWorks, «Why Computer Animation Looks So Darn Real», July 9, 2012, https://mashable.com/2012/07/09/animation-history-tech/#uYHyf6hO.Zq3.
78
Подробности создания «Шрека» ищите на сайте http://cinema.com/articles/463/shrek-production-information.phtml.
79
«NVIDIA Collaborates with Weta to Accelerate Visual Effects for Avatar», http://www.nvidia.com/object/wetadigital_avatar.html, и Barbara Robertson, «How Weta Digital Handled Avatar», Studio Daily, January 5, 2010, http://www.studiodaily.com/2010/01/how-weta-digital-handled-avatar/.
80
«NVIDIA Collaborates with Weta».
81
Burr Snider, «The Toy Story Story», Wired, December 1, 1995, https://www.wired.com/1995/12/toy-story/.
82
Burr Snider, «The Toy Story Story», Wired, December 1, 1995, https://www.wired.com/1995/12/toy-story/.
83
Ian Failes, Geri’s Game’ Turns 20: Director Jan Pinkava Reflects on the Game-Changing Pixar Short, November 25, 2017, https://www.cartoonbrew.com/cgi/geris-game-turns-20-director-jan-pinkava-reflects-game-changing-pixar-short-154646.html. Фильм можно посмотреть на https://www.youtube.com/watch?v=9IYRC7g2ICg.
84
DeRose et al., Subdivision Surfaces. С особенностями компьютерной анимации можно познакомиться на уроках в Академии Хана, созданных в сотрудничестве с Pixar по адресу: https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar/modeling-character. Учащиеся и учителя могут также попробовать другие уроки, предлагаемые в Pixar in a Box по адресу: https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar. Это отличный способ увидеть, как математика используется для создания кино.
85
DreamWorks, Why Computer Animation Looks So Darn Real.
86
Deuflhard et al., Mathematics in Facial Surgery; Zachow et al., Computer-Assisted Planning; и Zachow, Computational Planning.
87
В американской системе записи дат (сначала месяц, а потом число) 14 марта записывается как 3/14. Поэтому с 1987 года этот день стал неофициальным праздником – Днем числа пи. Строго говоря, отмечать положено 14 марта в 1:59:26, поскольку π = 3,1415926… Прим. пер.
88
Rorres, Archimedes in the Twenty-First Century, глава 6, и https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Screw /Applications.html.
89
Справедливости ради, у Архимеда есть одна работа, связанная с движением, хотя это некая искусственная форма движения, обусловленная математикой, а не физикой. Смотрите его труд «О спиралях», воспроизведенный в книге: Heath, The Works of Archimedes, 151–88. Здесь Архимед предвосхитил современные идеи полярной системы координат и параметрических уравнений для точки, движущейся в плоскости. В частности, он рассмотрел точку, равномерно движущуюся в радиальном направлении от начала координат, в то время как сам этот радиальный луч равномерно вращается. Ученый показал, что траектория такой точки будет кривой, известной сегодня как спираль Архимеда. Затем, найдя сумму 1>2 + 2>2 + 3>2 + n>2 и применив метод исчерпывания, он нашел площадь, ограниченную одним витком спирали и радиальным лучом. Смотрите книги Stein, Archimedes, глава 9; Edwards, The Historical Development, 54–62; и Katz, History of Mathematics, 114–15.
90
Galileo, The Assayer (1623). Фрагменты переведены в работе: Stillman Drake, Discoveries and Opinions of Galileo (New York: Doubleday, 1957), 237–38, https://www.princeton.edu/~hos/h291/assayer.htm.
91
Галилео Галилей. Пробирных дел мастер (Il Saggiatore, 1623). Перевод Ю. А. Данилова. Прим. пер.
92
Johannes Kepler, The Harmony of the World, перевод: E. J. Aiton, A. M. Duncan, and J. V. Field, Memoirs of the American Philosophical Society 209 (1997): 304.
93
Johannes Kepler, The Harmony of the World, перевод: E. J. Aiton, A. M. Duncan, and J. V. Field, Memoirs of the American Philosophical Society 209 (1997): 304.
94
Plato, Republic (Hertfordshire: Wordsworth, 1997), 240.
95
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 17–20.
96
Др.-греч. πλανήτης (планэтэс), от глагола πλανάω «блуждать, скитаться». Прим. пер.
97
Разумеется, звезды (в том числе звезды Пояса Ориона или Ковша Большой Медведицы) тоже обладают собственным движением в пространстве, просто оно не так заметно, как у планет. Однако в некоторых случаях перемещение весьма существенно. Например, английский астроном Эдмунд Галлей (первооткрыватель собственного движения звезд) обнаружил, что Сириус сместился по сравнению с его положением в античном каталоге звезд Гиппарха (то есть примерно за две тысячи лет) больше чем на диаметр Луны. Самая быстрая из известных звезд (звезда Барнарда) смещается на диаметр Луны всего за 174 года, однако она не видна невооруженным взглядом. Прим. пер.
98
Katz, History of Mathematics, 406.
99
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 24–25, и James Evans, Aristarchus of Samos, Encyclopedia Britannica, https://www.britannica.com/biography/Aristarchus-of-Samos.
100
Evans, Aristarchus of Samos.
101
Планеты двигаются вокруг Солнца по эллипсам с переменной скоростью, в то время как со времен античности считалось, что они должны равномерно двигаться вокруг Земли по идеальным окружностям с постоянной скоростью. Поэтому приходилось как-то компенсировать расхождение теории с реальными наблюдениями. В частности, например, в геоцентрической системе Птолемея предполагалось, что планеты двигаются не непосредственно вокруг Земли, а по некоторому малому кругу (эпициклу), центр которого вращается вокруг Земли по большому кругу (деференту). Даже Коперник не смог полностью отказаться от теории эпициклов (хотя уменьшил их число): несмотря на то что он перенес Солнце в центр системы, планеты у него все равно двигались по идеальным окружностям, что является только грубым приближением к действительности. Прим. пер.
102
Katz, History of Mathematics, 145–57.
103
Martínez, Burned Alive.
104
Проект Galileo на http://galileo.rice.edu/galileo.html – превосходный онлайн-ресурс, посвященный жизни и работе ученого. Прекрасная биография Галилея для широкой аудитории – книга Fermi and Bernardini, Galileo and the Scientific Revolution, впервые опубликованная в 1961 году. Хорошим знакомством с Галилеем станет Asimov’s Biographical Encylopedia, 91–96, то же самое можно сказать о книге Kline, Mathematics in Western Culture, 182–95. О научных трудах смотрите работы Drake, Galileo at Work, и Michele Camerota, Galilei, Galileo в Gillispie, Complete Dictionary, 96–103.
106
Считается, что Марина появилась на свет примерно в 1570 году, а детей родила в 1600, 1601 и 1606 годах. Поэтому говорить о ее молодости не приходится. Прим. пер.
107
Галилей был вынужден отдать дочерей в монастырь в первую очередь потому, что они были незаконнорожденными и достойно выдать их замуж было невозможно. Заметим, что сына Галилей позднее признал законным. Прим. пер.
108
Sobel, Galileo’s Daughter. Письма сестры Марии Челесте своему отцу можно найти по адресу: http://galileo.rice.edu/fam/daughter.html#letters
109
Celeste (ит.) – небесный. Прим. пер.
110
Книга есть в бесплатном доступе по адресу: http://oll.libertyfund.org/titles/galilei-dialogues-concerning-two-new-sciences.
111
Kline, Mathematics in Western Culture, 188–90.
112
Галилей писал: «Мы повторяли эксперимент более одного раза, чтобы измерять время с такой точностью, что отклонение между двумя наблюдениями никогда не превышало одной десятой удара пульса». Прим. пер.
113
Galileo, Discourses, 179, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_607.
114
Galileo, Discourses, 190, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_516.
115
Galileo, Discourses, 178, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_607.
116
Аристотель не занимался экспериментами в современном смысле этого слова, скорее, он наблюдал и осмысливал наблюдения. Однако чисто логическое противоречие, возникающее при предположении, что тела разной массы падают с разной скоростью, он вполне мог обнаружить. Вот это изящное рассуждение. Предположим, что тяжелые тела падают быстрее легких. Возьмем тяжелый камень и более легкий кусок дерева и скрепим их. С одной стороны, получившийся предмет тяжелее камня, поэтому он должен падать еще быстрее, чем камень. С другой – дерево падает медленнее камня и поэтому добавление дерева к камню должно замедлять падение. Противоречие. Прим. пер.
117
Свои книги Галилей строит как диалоги трех людей: Сальвиати, выражающего коперниканские взгляды самого Галилея, простака Симпличио, отстаивающего точку зрения Аристотеля и Птолемея, и нейтрального (но сочувствующего взглядам автора) собеседника Сагредо. Прим. пер.
118
Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. День первый. Перевод С. Н. Долгова. Прим. пер.
119
Galileo, Discourses, 109. http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_242.
120
Fermi and Bernardini, Galileo and the Scientific Revolution, 17–20, и Kline, Mathematics in Western Culture, 182.
121
Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. День первый. Перевод С. Н. Долгова. Прим. пер.
122
Galileo, Discourses, 140, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_338.
123
Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. День первый. Перевод С. Н. Долгова. Прим. пер.
124
Galileo, Discourses, 139. http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_335.
125
Galileo, Discourses, 138, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_329.
126
Отсылка к четверостишию Блейка из «Песен невинности» (1789):
Перевод Е. В. Поникарова. Прим. пер.
127
Strogatz, Sync, глава 5, и Richard Newrock, What Are Josephson Junctions? How Do They Work? Scientific American, https://www.scientificamerican.com/article/what-are-josephson-juncti/.
128
Эксплоративная операция (от лат exploratio – «исследование»), также диагностическая операция – операция для уточнения диагноза (например, с помощью биопсии). Прим. пер.
129
Инвазивный (от лат invadere – «проникать внутрь») – основанный на введении инструментов через кожу пациента. При неинвазивных процедурах проникновения через кожу, наоборот, нет. Прим. пер.
130
Sobel, Longitude.
131
Премия была установлена в 1714 году. Харрисон создал несколько хронометров H1, H2, H3, H4, постепенно улучшая конструкцию и получая от государства некоторые средства на работу. В 1773 году после вмешательства короля Георга III изобретатель (которому было уже 80 лет) наконец добился платы в сумме 8750 фунтов за свои достижения, однако формально официальной премии Харрисон не получал (объявленную награду так никому и не вручили). Впрочем, в течение многих лет работы часовщик получил от Комиссии долгот и парламента в сумме свыше 23 тысяч фунтов. Прим. пер.
132
Thompson, Global Positioning System, и https://www.gps.gov.
133
О жизни и трудах Кеплера смотрите Owen Gingerich, Johannes Kepler, в Gillispie, Complete Dictionary, vol. 7, в интернете по адресу https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14, с дополнениями, сделанными J. R. Voelkel в томе 22. Смотрите также Kline, Mathematics in Western Culture, 110–25; Edwards, The Historical Development, 99–103; Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 96–99; Simmons, Calculus Gems, 69–83; и Burton, History of Mathematics, 355–60.
134
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
135
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
136
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
137
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
138
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
139
Кеплер в Astronomia Nova, цитируется по Owen Gingerich, The Book Nobody Read: Chasing the Revolutions of Nicolaus Copernicus (New York: Penguin, 2005), 48.
140
Образующая конуса – прямая, соединяющая вершину с границей основания конуса. Все образующие конуса в совокупности дают боковую поверхность конуса. Прим. пер.
141
Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.
142
Цитируется по: Martínez, Science Secrets, 34.
143
Koestler, The Sleepwalkers, 33.
144
Katz, Ideas of Calculus; Katz, History of Mathematics, главы 6 и 7; и Burton, History of Mathematics, 238–85.
145
Название происходит от написанного в IX веке трактата Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» – «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». Под восполнением (аль-джебр) подразумевался перенос отрицательных членов в противоположную часть уравнения, чтобы они стали положительными (с отрицательными числами математики тогда не работали), под противопоставлением (аль-мукабала) – приведение подобных членов. Прим. пер.
146
С помощью вписанного 3072-угольника он получил π ≈ 3,1416. Затем, усовершенствовав свой метод, получил такое же приближение с помощью всего лишь 192-угольника. Прим. пер.
147
Katz, Ideas of Calculus, и J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham.html.
148
Золотой век ислама – период расцвета Арабского халифата, примерно с середины VIII до середины XIII века. Прим. пер.
149
Katz, History of Mathematics, 369–75.
150
Katz, History of Mathematics, 375–78.
151
Десятичные дроби изредка использовались и до Стевина, но широко распространились в Европе именно после его труда «Десятая» (De Thiende, 1585). Прим. пер.
152
Десятичной запятой в те времена не было. Стевин указывал над каждой цифрой номер соответствующего разряда. Прим. пер.
153
Alexander, Infinitesimal, обсуждает их споры с иезуитами по поводу бесконечно малых, которые считались опасными не только с математических, но и с религиозных позиций.
154
На самом деле, когда дело касается продуктов, речь всегда идет о т. н. больших калориях, или килокалориях (то есть тысячах калорий). Прим. пер.
155
О его жизни смотрите Clarke, Descartes; Simmons, Calculus Gems, 84–92; и Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 106–8. Краткое изложение его математики и физики для широкой аудитории смотрите в книгах: Kline, Mathematics in Western Culture, 159–81; Edwards, The Historical Development; Katz, History of Mathematics, разделы 11.1 и 12.1; и Burton, History of Mathematics, раздел 8.2. Серьезный исторический анализ его трудов по математике и физике смотрите в работах: Michael S. Mahoney, Descartes: Mathematics and Physics, в Gillispie, Complete Dictionary, также онлайн в Encyclopedia Britannica, https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/descartes-mathematics-and-physics.
156
René Descartes, Les Passions de l’Ame (1649), Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 31.
157
После голландской армии в 1619 году Декарт поступил на баварскую службу и участвовал в Тридцатилетней войне – в частности, сражался в битве на Белой горе под Прагой в 1620 году. Вернувшись во Францию, он побывал на осаде Ла-Рошели. Повторно в Голландию на двадцать лет он уехал в 1628 году. Прим. пер.
158
Henry Woodhead, Memoirs of Christina, Queen of Sweden (London: Hurst and Blackett, 1863), 285.
159
Оптимальное рассмотрение можно найти в книге Mahoney, Mathematical Career. Живо и увлекательно о Ферма (словно автор был одним из участников описываемых событий) – Simmons, Calculus Gems, 96–105. Если вы не читали Симмонса, обязательно прочитайте.
160
Mahoney, Mathematical Career, глава 4.
161
Mahoney, Mathematical Career, 171.
162
Я согласен с оценкой в книге Simmons, Calculus Gems, 98, как следует распределять заслуги в отношении аналитической геометрии: «На первый взгляд кажется, что труд Декарта выглядит аналитической геометрией, но не является ею; в то время как труд Ферма так не выглядит, но является ею». Более взвешенные взгляды смотрите в книгах: Katz, History of Mathematics, 432–42, and Edwards, The Historical Development, 95–97.
163
Guicciardini, Isaac Newton, и Katz, History of Mathematics, 368–69.
164
Декарт, правило 4 в «Правилах для руководства ума» (1629), как Цитируется по Katz, History of Mathematics, 368–69.
165
Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 77.
166
Mahoney, Mathematical Career, 199–201, обсуждает работу Ферма по задаче максимизации, рассмотренной в основном тексте.
167
1 дюйм = 2,54 см. Прим. пер.
168
Mahoney, Mathematical Career, 162–65, и Katz, History of Mathematics, 470–72.
169
Austin, What Is… JPEG? и Higham et al., The Princeton Companion, 813–16.
170
Сайт Timeanddate.com предоставит вам информацию для любого интересующего вас места.
171
Доступное введение в вейвлет-анализ и многочисленные приложения смотрите в: Dana Mackenzie, Wavelets: Seeing the Forest and the Trees, в Beyond Discovery: The Path from Research to Human Benefit, проекте Национальной Академии наук: http://www.nasonline.org/publications/beyond-discovery/wavelets.pdf. Затем попробуйте Kaiser, Friendly Guide, Cipra, Parlez-Vous Wavelets? или Goriely, Applied Mathematics, глава 6. Daubechies, Ten Lectures – знаковая серия лекций по вейвлетам Добеши.
172
Bradley et al., FBI Wavelet/ Scalar Quantization.
173
Bradley and Brislawn, The Wavelet/Scalar Quantization; Brislawn, Fingerprints Go Digital; и https://www.nist.gov/itl/iad/image-group/wsq-bibliography.
174
Kwan et al., Who Really Discovered Snell’s Law? и Sabra, Theories of Light, 99–105.
175
Mahoney, Mathematical Career, 387–402.
176
Mahoney, Mathematical Career, 398.
177
Mahoney, Mathematical Career, 400 (мой перевод слов Ферма с французского).
178
Принцип наименьшего времени Ферма предвосхитил более общий принцип наименьшего действия. Занимательное и глубоко поучительное обсуждение этого принципа, включая его основания в квантовой механике, смотрите в: R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, «The Principle of Least Action», Feynman Lectures on Physics, vol. 2, глава 19 (Reading, MA: Addison-Wesley, 1964), и Feynman, QED.
179
Katz, History of Mathematics, 472–73.
180
Цитируется по: Декарт Р. Геометрия. – М.; Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938. Перевод А. П. Юшкевича. Прим. ред.
181
Цитируется по: Grattan-Guinness, From the Calculus, 16.
182
Цитируется по: Mahoney, Mathematical Career, 177.
183
Simmons, Calculus Gems, 240–41; и Katz, History of Mathematics, 481–84.
184
Katz, History of Mathematics, 485, автор объясняет, почему, по его ощущениям, Ферма не заслуживает звания изобретателя анализа, и приводит убедительные аргументы.
185
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 2, и Katz, History of Mathematics, раздел 10.4.
186
Другие названия этого эмпирического правила – правило 69 или правило 70. Число 69 дает более точные результаты, однако у числа 72 больше делителей, поэтому оно удобнее для устного подсчета. Прим. пер.
187
Braun, Differential Equations, раздел 1.3.
188
Вообще говоря, все логарифмы, с любым основанием, абсолютно взаимозаменяемы, поскольку log>ax = log>bx ∙ log>ab. Поэтому утверждать, что, например, за радиоуглеродным анализом стоят именно натуральные алгоритмы, можно лишь с определенной натяжкой. Прим. ред.
189
С точностью до постоянного множителя – этим свойством обладает любая функция вида y(x) = Ce>x, где C – произвольная константа. Прим. ред.
190
Bolt, Faster than Lightning.
191
Jonathan Snowden, Remembering Usain Bolt’s 100m Gold in 2008, Bleacherreport.com (August 19, 2016), https://www.olympicchannel.com/en/stories/news/detail/back-to-beijing-usain-bolt-s-100m-world-record-with-an-untied-shoelace/, и Eriksen et al., How Fast. Видео его потрясающего выступления смотрите на https://www.youtube.com/watch?v=qslbf8L9nl0
192
Snowden, Remembering Usain Bolt’s.
193
Мой анализ основан на работе A. Oldknow, Analysing Men’s 100m Sprint Times with TI-Nspire, https://rcuk-portscience.wikispaces.com/file/view/Analysing+men+100m+Nspire.pdf. Детали этих двух исследований могут слегка отличаться, поскольку мы использовали разные методы аппроксимации, но в целом наши заключения одинаковы.
194
Graubner and Nixdorf, Biomechanical Analysis.
195
Цитата из Picasso Speaks, The Arts (May 1923), взято на http://www.gallerywalk.org/PM_Picasso.html из Alfred H. Barr Jr., Picasso: Fifty Years of His Art (New York: Arno Press, 1980).
196
Биографическую информацию смотрите в книге: Gleick, Isaac Newton. Смотрите также Westfall, Never at Rest, и I. B. Cohen, Isaac Newton в томе 10 Gillispie, Complete Dictionary, с дополнениями Г. Смита (G. E. Smith) и У. Ньюмэна (W. Newman) в томе 23. О математике Ньютона смотрите Whiteside, The Mathematical Papers, тома 1 и 2; Edwards, The Historical Development; Grattan-Guinness, From the Calculus; Rickey, Isaac Newton; Dunham, Journey Through Genius; Katz, History of Mathematics; Guicciardini, Reading the Principia; Dunham, The Calculus Gallery; Simmons, Calculus Gems; Guicciardini, Isaac Newton; Stillwell, Mathematics and Its History; и Burton, History of Mathematics.
197
René Descartes, The Geometry of René Descartes: With a Facsimile of the First Edition, перевод: David E. Smith и Marcia L. Latham (Mineola, NY: Dover, 1954), 91. В течение двадцати лет было показано, что Декарт ошибался в отношении невозможности найти точную длину дуг кривых; смотрите Katz, History of Mathematics, 496–98.
198
Я осовременнил здесь устаревший слог Ньютона для облегчения чтения. Письмо 193 от Ньютона Коллинзу от 8 ноября 1676 года, в книге: Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 179. Опущенный материал касается технических подробностей о классе триномиальных уравнений, к которым относится его заявление. Смотрите A Manuscript by Newton on Quadratures, рукопись 192, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 178.
199
Письмо 193 от Ньютона Коллинзу от 8 ноября 1676 года, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 180. Я снова упростил стиль изложения Ньютона.
200
Katz, History of Mathematics, 498–503, показывает, что Джеймс Грегори и Исаак Барроу связывали задачу определения площади с задачей о касательных и тем самым предвосхищали основную теорему, но заключает, что «никто из этих людей в 1670 году не мог соединить такие методы в реальный вычислительный инструмент для решения задач». Во врезке на странице 521 автор приводит убедительные аргументы, что Ньютон и Лейбниц (в отличие от «Ферма, Барроу и кого бы то ни было еще») заслуживают похвалы за изобретение анализа.
201
Кинеограф – система создания анимированного изображения, когда отдельные кадры рисуются на отдельных страничках тетради. Если быстро перелистывать эти страницы, получается эффект анимации. Прим. пер.
202
Разумеется, знали не в такой форме. И у Хейтсбери, и у Орема теорема об ускорении гласила, что расстояние, пройденное телом при равноускоренном движении, равно длине промежутка времени, умноженной на скорость тела в середине этого промежутка времени (то есть на среднюю скорость). При этом у Орема эта идея была изображена графически. Прим. пер.
203
Katz, History of Mathematics, раздел 8.4.
204
Вы можете познакомиться в интернете с тетрадью, в которой Ньютон писал в колледже. Адрес страницы, приведенной в основном тексте: http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/260.
205
Мой рассказ о ранних годах жизни Ньютона основан на книге: Gleick, Isaac Newton.
206
Йомены – свободные мелкие землевладельцы, которые при этом сами занимались обработкой земли. Прим. пер.
207
При такой формулировке может сложиться впечатление о бедности семьи Ньютонов. Однако это не так: после смерти Исаака Ньютона осталась очень неплохая по тем временам сумма примерно в 500 фунтов и несколько сотен гектаров земли. Прим. пер.
208
На самом деле практически втрое. На момент второго брака (в январе 1646 года) Анне (1623–1679) было 22 года, а Барнабасу Смиту (1582–1653) – 62. Нужно добавить, что по условиям брака Смит предоставил Ньютону участок земли, а также принял предложение отремонтировать семейный дом. Прим. пер.
209
В первый год в Грэнтеме он стал семьдесят восьмым по успеваемости из восьмидесяти школьников. Прим. пер.
210
Whiteside, The Mathematical Papers, том 1, 96–142, и Katz, History of Mathematics, раздел 12.5. Эдвардс дает увлекательный обзор трудов Валлиса по интерполяции и бесконечным произведениям и показывает, как из попыток обобщить эти результаты появилась работа Ньютона о бесконечных рядах; смотрите Edwards, The Historical Development, глава 7. Мы знаем, когда Ньютон сделал эти открытия, потому что он датировал их в записи на странице 14v своей тетради (https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/32). Ньютон писал: «В году 1664 незадолго перед Рождеством я… позаимствовал работы Валлиса и впоследствии сделал эти Примечания… зимой 1664–1665 годов. В то время я нашел метод бесконечных рядов. А летом 1665 года, изгнанный из Кембриджа чумой, я вычислил площадь гиперболы… тем же самым методом».
211
Edwards, The Historical Development, 178–87, и Katz, History of Mathematics, 506–59, показывают этапы размышлений Ньютона, когда он получал свои результаты для степенных рядов.
212
Письмо 188 от Ньютона Ольденбургу от 24 октября 1676 года, в книге: Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 133.
213
Katz, Ideas of Calculus; Katz, History of Mathematics, 494–96.
214
Эта строка появляется в знаменитом первом письме (epistola prior) – ответе Ньютона на первый запрос Лейбница, отправленном через Генри Ольденбурга в качестве посредника; смотрите письмо 165 от Ньютона Ольденбургу от 13 июня 1676 года, в книге: Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 39.
215
Мэшап (англ. mash-up – «смешивать композиции», буквально «толочь») – музыкальное произведение, которое создается путем наложения двух или нескольких исходных. Прим. пер.
216
Черновик письма Ньютона Пьеру де Майзо, написанный в 1718 году, когда Ньютон пытался доказать свой приоритет в изобретении анализа перед Лейбницем; доступен в интернете по адресу: https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03968/1349 в собрании библиотеки Кембриджского университета. Полная цитата захватывает дух: «В начале года 1665 я нашел метод аппроксимирующих рядов и правило для разложения любой степени любого бинома в такой ряд. В том же году в мае я установил метод касательных Грегори и Слюза, в ноябре у меня был прямой метод флюксий; в следующем году в январе – теория цветов; в следующем мае я пришел к обратному методу флюксий. В том же самом году я начал думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны, и (узнав, как оценить силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность сферы) из правила Кеплера о времени обращения планет, находящемся в отношении полуторной степени (три к двум) к их расстояниям от центров их орбит, я вывел, что силы, которые удерживают планеты на их орбитах, должны быть обратно пропорциональны квадратам расстояний от центров, вокруг которых они обращаются: таким образом сравнил силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли, и обнаружил, что они весьма хорошо соответствуют. Все это было в два чумных года – 1665 и 1666. В те дни я был в расцвете сил юности и думал о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии».
217
Цитируется по: Whiteside, The Mathematical Principles, отсылка к его ссылке 2.
218
Alexander, Infinitesimal, излагает историю яростных сражений Гоббса с Валлисом, которые были настолько же политическими, насколько математическими. Глава 7 говорит о Гоббсе как человеке, мнящем себя геометром.
219
Цитируется по: Stillwell, Mathematics and Its History, 164.
220
Цитируется по: Stillwell, Mathematics and Its History, 164.
221
Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 343.
222
Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 343.
223
Лукасовский профессор математики – это именная профессура в Кембридже, которую учредил в 1663 году Генри Лукас. Среди тех, кто занимал эту почетную должность после Барроу и Ньютона, были Бэббидж, Стокс, Дирак, Хокинг и другие первоклассные ученые. Прим. пер.
224
Письмо от Исаака Барроу к Джону Коллинзу от 20 августа 1669 года, Цитируется по: Gleick, Isaac Newton, 68.
225
Письмо 158 от Лейбница к Ольденбургу от 2 мая 1676 года, в книге: Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 4. Больше о переписке между Ньютоном и Лейбницем можно найти в работе: Mackinnon, Newton’s Teaser. Guicciardini, Isaac Newton, 354–61, дает особенно четкий и полезный анализ игры в математические кошки-мышки в письмах между Ньютоном и Лейбницем. Оригиналы писем есть в Turnbull, Correspondence of Isaac Newton; в частности смотрите письма 158 (первоначальная просьба Лейбница, отправленная Ньютону через Ольденбурга), 165 (первое письмо Ньютона, epistola prior, краткое и отпугивающее), 172 (просьба Лейбница о разъяснениях), 188 (второе письмо Ньютона, epistola posterior, которое написано вежливее и яснее, но предназначено для демонстрации того, кто тут хозяин) и 209 (Лейбниц отвечает ударом на удар, хотя и вежливо, и дает понять, что тоже владеет анализом).
226
Одна из самых известных колкостей в epistola prior, письме 165 от Ньютона Ольденбургу от 13 июня 1676 года. Смотрите Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 39.
227
Письма 188 от Ньютона Ольденбургу от 24 октября 1676 года, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 130.
228
Письма 188 от Ньютона Ольденбургу от 24 октября 1676 года, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 130.
229
Письма 188 от Ньютона Ольденбургу от 24 октября 1676 года, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 130.
230
Turnbull, Correspondence of Isaac Newton. Шифрование скрывает знание Ньютоном основной теоремы и центральных проблем анализа: «задано уравнение с любым количеством флюэнт, найти флюксии, и наоборот». Смотрите также стр. 153, прим. 25.
231
Код Ньютона 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx означает количество букв (6 букв a, 2 буквы c и так далее) и полностью записывается так: aaaaaa cc d ae eeeeeeeeeeeee ff iiiiiii lll nnnnnnnnn oooo qqqq rr ssss ttttttttt uuuuuuuvvvvv x (ae – это латинский диграф [составной письменный знак], а u и v в латыни долгое время были вариантами одной буквы, поэтому у Ньютона 12v означает общее количество u и v). Этот набор букв – анаграмма латинской фразы Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire: et vice versa («Задано уравнение с любым количеством флюэнт, найти флюксии; и наоборот»), с помощью которой Ньютон описал суть своих открытий. Такие анаграммы были широко распространены в XVII–XIX веках, поскольку одновременно выполняли две функции: надежно скрывали открытие (например, ученый хотел сначала произвести его надежную проверку) и одновременно подтверждали авторство (ведь шансы на то, что из этих букв можно составить описание какого-то другого открытия, крайне малы). Прим. пер.
232
Письмо от Лейбница маркизу Лопиталю, 1694, фрагменты в Child, Early Mathematical Manuscripts. Также Цитируется по книге: Edwards, The Historical Development, 244.
233
Mates, Philosophy of Leibniz, 32.
234
Mates, Philosophy of Leibniz, 32.
235
О жизни Лейбница смотрите работы Hofmann, Leibniz in Paris; Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia; и Mates, Philosophy of Leibniz. О философии Лейбница смотрите Mates, Philosophy of Leibniz. О математике Лейбница смотрите Child, Early Mathematical Manuscripts; Edwards, The Historical Development; Grattan-Guinness, From the Calculus; Dunham, Journey Through Genius; Katz, History of Mathematics; Guicciardini, Reading the Principia; Dunham, The Calculus Gallery; Simmons, Calculus Gems; Guicciardini, Isaac Newton; Stillwell, Mathematics and Its History; и Burton, History of Mathematics.
236
Особенно хороша работа Edwards, The Historical Development, глава 9. Смотрите также Katz, History of Mathematics, раздел 12.6, и Grattan-Guinness, From the Calculus, глава 2.
237
Например, он писал: «Мы должны прикладывать усилия, чтобы уберегать чистую математику от метафизических споров. Мы достигнем этого, если перестанем беспокоиться, реальны ли бесконечно большие и бесконечно малые в величинах, в числах или в линиях, а будем использовать бесконечно большие и бесконечно малые как подходящие выражения для сокращения рассуждений». Цитируется по: Guicciardini, Reading the Principia, 160.
238
Лейбниц в письме де Боссу[355] в 1706 году. Цитируется по: Guicciardini, Reading the Principia, 159.
239
Например, нестандартный анализ Абрахама Робинсона, где рассматриваются гипердействительные числа. Прим. пер.
240
Термин «дифференциал» образован от латинского слова differentia – «разность». Прим. пер.
241
Лейбниц в письме де Боссу в 1706 году. Цитируется по: Guicciardini, Reading the Principia, 166.
242
Edwards, The Historical Development, 259.
243
Цитируется Edwards, The Historical Development, 259.
244
В этой записи смешиваются два разных x – тот x, что в левой части, совпадает с верхним пределом интегрирования в правой, но вот под знаком интеграла и в дифференциале – на деле другой. Фактически этот второй «немой», поскольку интегрировать можно по любой переменной. Чтобы не путаться, лучше использовать другую переменную интегрирования, так что этот интеграл может быть записан, например, как
245
Буква S от лат. summa «сумма». Прим. пер.
246
Edwards, The Historical Development, 236–38. На самом деле Лейбница интересовала сумма величин, обратных треугольным числам, которая вдвое больше суммы, рассмотренной в тексте книги. Смотрите также Grattan-Guinness, From the Calculus, 60–62.
247
Отсылка к английской поговорке о скрытой цели, восходящей к «Гамлету». Полоний комментирует поведение Гамлета: «Хоть это и безумие, но в нем есть метод» (акт 2, сцена 2). Прим. пер.
248
Из письма Эренфриду Вальтеру фон Чирнхаусу[356] в 1679 году. Цитируется по Guicciardini, Reading the Principia, 145.
249
Статистику для ВИЧ и СПИД смотрите на сайте https://ourworldindata.org/hiv-aids/. Историю вируса и попыток с ним бороться смотрите на сайте https://www.avert.org/professionals/history-hiv-aids/overview.
250
Оппортунистические инфекции – это заболевания, которыми люди со здоровой иммунной системой обычно не болеют. Прим. пер.
251
The Stages of HIV Infection, AIDSinfo, https://aidsinfo.nih.gov/understanding-hiv-aids/fact-sheets/19/46/the-stages-of-hiv-infection.
252
Ho et al., Rapid Turnover; Perelson et al., HIV-1 Dynamics; Perelson, Modelling Viral and Immune System; и Murray, Mathematical Biology 1.
253
Результаты вероятностных расчетов впервые появились в работе: Perelson et al., Dynamics of HIV-1.
254
Gorman, Dr. David Ho.
255
Американское математическое общество, премия Макса Дельбрюка 2017 года в биологической физике, https://www.aps.org/programs/honors/prizes/prizerecipient.cfm?first_nm=Alan&last_nm=Perelson&year=2017.
256
Multidisciplinary Team Aids Understanding of Hepatitis C Virus and Possible Cure, Los Alamos National Laboratory, March 2013, http://www.lanl.gov/discover/publications/connections/2013–03/understanding-hep-c.php. Введение в математическое моделирование гепатита С смотрите в работе: Perelson and Guedj, Modelling Hepatitis C.
257
Из слов автора может сложиться впечатление, что многоклеточные организмы появились после кембрийского взрыва. Это не так – они встречались и в докембрии. Прим. пер.
258
О многих направлениях, отпочковавшихся от анализа с 1700-х до нашего времени, смотрите Kline, Mathematics in Western Culture; Boyer, The History of the Calculus; Edwards, The Historical Development; Grattan-Guinness, From the Calculus; Katz, History of Mathematics; Dunham, The Calculus Gallery; Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics.
259
Опцион – вид сделки, когда покупатель (продавец) получает право купить (продать) некий актив в будущем по заранее установленной цене. Прим. пер.
260
Peterson, Newton’s Clock; Guicciardini, Reading the Principia; Stewart, In Pursuit of the Unknown; и Stewart, Calculating the Cosmos.
261
Kline, Mathematics in Western Culture, 234– 86, о значительном влиянии, которое труды Ньютона оказали на ход западной философии, религии, эстетики и литературы, а также на науку и математику. Смотрите также W. Bristow, Enlightenment, https://plato.stanford.edu/entries/enlightenment/.
262
D. Brewster, Memoirs of the Life, Writings, and Discoveries of Sir Isaac Newton, том 2 (Edinburgh: Thomas Constable, 1855), 158.
263
Об удивительной истории этого яблока смотрите Gleick, Isaac Newton, 55–57, и примечание 18 на стр. 207. Смотрите также Martínez, Science Secrets, глава 3.
264
Черновик письма Ньютона Пьеру де Майзо, написанный в 1718 году; доступен в интернете по адресу: https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03968/1349 в собрании Библиотеки Кембриджского университета.
265
Ньютон не открывал закон обратных квадратов. Впервые идею, что движение планет может обеспечить сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату расстояния, высказал в 1645 году французский астроном Исмаэль Буйо. Затем к ней приходили и другие ученые. Роберт Гук в 1679 году в явном виде сформулировал этот закон в письме к Ньютону и попросил математически обосновать его (что Ньютон и сделал). Однако Ньютон оспаривал приоритет Гука, ссылаясь на работы Буйо и Борелли, а также обсуждение этой идеи с Кристофером Реном еще до письма Гука. Ученый утверждал, что даже если бы впервые услышал об этом законе от Гука, то у него были некоторые права на него, потому что, в отличие от Гука, он его доказал: «Без моих демонстраций, с которыми господин Гук еще не знаком, никакой рассудительный философ не может поверить в его точность». Более того, по словам Ньютона, он знал об этом законе и раньше. Однако доказательств этому нет. В записях ученого 1669 года есть утверждение, что в случае кругового планетного движения «стремление отступить» (что позднее назовут центробежной силой) обратно пропорционально квадрату расстояния до центра, однако это не совсем то (хотя идеологически близко), и на язык центростремительной силы Ньютон перешел только после переписки с Гуком в 1679–1680 годах. Тем не менее эти записи показывают, что какие-то основания оспаривать приоритет Гука у Ньютона были. Специалисты продолжают спорить, что именно Ньютон позаимствовал у Гука (значительная часть личных бумаг Гука уничтожена или исчезла). Прим. пер.
266
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 138, дает одну из версий этой известной истории.
267
Katz, History of Mathematics, 516–19, описывает геометрические аргументы Ньютона. Guicciardini, Reading the Principia, обсуждает, как современники Ньютона реагировали на «Начала» и в чем состояла их критика (некоторые их возражения звучали убедительно). Современный вывод законов Кеплера из закона обратных квадратов дается в книге: Simmons, Calculus Gems, 326–35.
268
Следует помнить, что Евклид был систематизатором и сообщал (без упоминания авторства) результаты других греческих математиков – Теэтета, Архита, Евдокса, Гиппократа и так далее. Неизвестно, какие результаты в «Началах» принадлежат самому Евклиду. Прим. пер.
269
Jones, John Couch Adams, и Sheehan and Thurber, John Couch Adams’s Asperger Syndrome.
270
Положение Нептуна рассчитали независимо друг от друга Адамс и Леверье. На самом деле Нептун оказался в 12° от положения, предсказанного Адамсом, и в 1° от положения, предсказанного Леверье. Для сравнения: видимый диаметр Луны составляет примерно 0,5°. Прим. пер.
271
Shetterly, Hidden Figures, обеспечил Кэтрин Джонсон то признание, которое она давно заслуживала. Больше о ее жизни читайте на сайте https://www.nasa.gov/content/katherine-johnson-biography. О ее вкладе в развитие математики смотрите Skopinski and Johnson, Determination of Azimuth Angle. Также смотрите https://www.worldcat.org/title/determination-of-azimuth-angle-at-burnout-for-placing-a-satellite-over-a-selected-earth-position/oclc/52200446 и https://ima.org.uk/5580/hidden-figures-impact-mathematics/.
272
Почти за год до полета Гленна (20.02.1962) ту же задачу регулярно решали советские математики, возвращая с орбиты не только летавших в космос в 1961 году Юрия Гагарина и Германа Титова, но и беспилотные искусственные спутники Земли. Прим. ред.
273
Автор не совсем верно излагает факты. Полет Гленна был первым, параметры которого рассчитывали компьютеры IBM. Гленн не доверял компьютеру и попросил Джонсон проверить расчеты с помощью ее настольного механического калькулятора. Кэтрин проверила и согласилась с вычислениями. Прим. пер.
274
В отличие от ситуации с Юрием Гагариным, вопрос с первым американским астронавтом не так однозначен. Алан Шепард в 1961 году совершил суборбитальный полет (то есть не сделал полного витка вокруг Земли): он летал всего 15 минут и спустился в 486 километрах от точки старта, но при этом поднялся выше границы, которая считается границей космоса. Джон Гленн в 1962 году первым из американцев сделал полный оборот вокруг планеты. В результате и того и другого часто называют первым американским астронавтом. Заметим, что Гленну принадлежит другой, пока что никем не побитый рекорд: на сегодняшний день он самый пожилой человек, побывавший в космосе – свой второй полет в космос он совершил в возрасте 77 лет. Прим. пер.
275
Sarah Lewin, «NASA Facility Dedicated to Mathematician Katherine Johnson», Space.com, May 5, 2016, https://www.space.com/32805-katherine-johnson-langley-building-dedication.html.
276
Цитируется по: Kline, Mathematics in Western Culture, 282. Источник описания вечеринки – дневник хозяина, художника Бенджамина Хейдона, фрагменты в: Ainger, Charles Lamb, 84–86.
277
Cohen, Science and the Founding Fathers, убедительно обосновывает влияние Ньютона на Джефферсона и «эхо Ньютона» в Декларации независимости; также смотрите The Declaration of Independence, http://math.virginia.edu/history/Jefferson/jeff_r(4). htm. Больше о Джефферсоне и математике ищите в лекции Джона Фовела: John Fauvel, When I Was Young, Mathematics Was the Passion of My Life’: Mathematics and Passion in the Life of Thomas Jefferson по адресу: http://math.virginia.edu/history/Jefferson/jeff_r.htm.
278
В оригинале the Laws of Nature and of Nature’s God. Прим. пер.
279
Письмо Томаса Джефферсона Джону Адамсу от 21 января 1812 года найдете по адресу: https://founders.archives.gov/documents/Jefferson/03-04-02-0334.
280
Cohen, Science and the Founding Fathers, 101. Смотрите также Moldboard Plow, Thomas Jefferson Encyclopedia, https://www.monticello.org/site/plantation-and-slavery/moldboard-plow, и Dig Deeper – Agricultural Innovations, https://www.monticello.org/site/jefferson/dig-deeper-agricultural-innovations.
281
Письмо Томаса Джефферсона сэру Джону Синклеру от 23 марта 1798 года, https://founders.archives.gov/documents/Jefferson/01-30-02-0135.
282
В отличие от задачи двух тел, задача трех тел не имеет аналитического решения в общем виде (известны только решения в ряде частных случаев). Прим. пер.
283
Hall and Hall, Unpublished Scientific Papers, 281.
284
Об обыкновенных дифференциальных уравнениях и их применении смотрите Simmons, Differential Equations. Также смотрите Braun, Differential Equations; Strogatz, Nonlinear Dynamics; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics.
285
Об уравнениях в частных производных и их применении смотрите Farlow, Partial Differential Equations, и Haberman, Applied Partial Differential Equations. Смотрите также Higham et al., The Princeton Companion, and Goriely, Applied Mathematics.
286
Norris and Wagner, Boeing 787, и http://www.boeing.com/commercial/787/by-design/#/featured.
287
Jason Paur, Why ‘Flutter’ Is a 4-Letter Word for Pilots, Wired (March 25, 2010), https://www.wired.com/category/gamelife/?p=21063.
288
Szpiro, Pricing the Future, и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 17.
289
Ermentrout and Terman, Mathematical Foundations, и Rinzel, Discussion.
290
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 13, и Ferreira, Perfect Theory. Смотрите также Greene, The Elegant Universe, and Isaacson, Einstein.
291
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 14.
292
Körner, Fourier Analysis, and Kline, Mathematics in Western Culture, глава 19. О его жизни и трудах смотрите Dirk J. Struik, Joseph Fourier, Encyclopedia Britannica, https://www.britannica.com/biography/Joseph-Baron-Fourier. Смотрите также Grattan-Guinness, From the Calculus; Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics.
293
Математическая составляющая уравнения теплопроводности Фурье обсуждается в книгах: Farlow, Partial Differential Equations, Katz, History of Mathematics, и Haberman, Applied Partial Differential Equations.
294
О математике колеблющихся струн, рядах Фурье и волновом уравнении смотрите Farlow, Partial Differential Equations; Katz, History of Mathematics; Haberman, Applied Partial Differential Equations; Stillwell, Mathematics and Its History; Burton, History of Mathematics; Stewart, In Pursuit of the Unknown; и Higham et al., The Princeton Companion.
295
Это не совсем так – стоячая волна также может иметь обертоны, но спектр стоячей волны носит дискретный характер. Прим. ред.
296
В 1680 году, более чем за столетие до Хладни, этот опыт провел Роберт Гук, который водил скрипичным смычком по краю стеклянной пластины и наблюдал возникающие фигуры. Прим. пер.
297
Оригинальные изображения воспроизведены на сайтах https://publicdomainreview.org/collections/chladni-figures-1787/ и http://www.sites.hps.cam.ac.uk/whipple/explore/acoustics/ernstchladni/chladniplates/. Современную демонстрацию смотрите на видео Стива Моулда (Steve Mould) под названием Random Couscous Snaps into Beautiful Patterns, https://www.youtube.com/watch?v=CR_XL192wXw&feature=youtu.be и видео от Physics Girl под названием Singing Plates – Standing Waves on Chladni Plates, https://www.youtube.com/watch?v=wYoxOJDrZzw.
298
Ее теория фигур Хладни обсуждается в книге: Bucciarelli and Dworsky, Sophie Germain. Биографию смотрите на сайтах: https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/germain.htm, http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/sophie-germain.html.
299
Цитируется по: Newman, The World of Mathematics, том 1, 333.
300
Весьма доступное объяснение того, как работает микроволновая печь, а также демонстрация предложенного мною эксперимента, содержатся в ролике How a Microwave Oven Works, https://www.youtube.com/watch?v=kp33ZprO0Ck. Чтобы измерить скорость света с помощью микроволновки, вы можете также использовать шоколадку, как показано здесь: https://www.youtube.com/watch?v=GH5W6xEeY5U. О предыстории микроволновых печей и сладкой липкой массе, оказавшейся в кармане Перси Спенсера, смотрите Matt Blitz, The Amazing True Story of How the Microwave Was Invented by Accident, Popular Mechanics (February 23, 2016), https://www.popularmechanics.com/technology/gadgets/a19567/how-the-microwave-was-invented-by-accident/.
301
Radar range (англ.) – дальность действия радара. Прим. пер.
302
Kevles, Naked to the Bone, 145–72; Goriely, Applied Mathematics, 85–89; и https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/. Первая статья, в которой решается проблему восстановления с помощью анализа и рядов Фурье: Cormack, Representation of a Function.
303
Слово «томография» образовано от греческих корней τομή «разрезание, сечение» и γράφω «пишу, рисую, описываю». Прим. пер.
304
Подробнее о компьютерной томографии с помощью анализа, рядов Фурье и интегральных уравнений: Cormack, Representation of a Function. Нобелевская лекция автора доступна в сети по адресу: https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/cormack-lecture.pdf.
305
Историю Годфри Хаунсфилда, группы Beatles и изобретения томографа смотрите в работе: Goodman, The Beatles, и https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/perspectives.html.
306
Цитата появляется на странице 563 его Нобелевской лекции: https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1979/cormack/facts/.
307
Преподавание в американских университетах строится не так, как у нас. В частности, математический анализ делится на отдельные курсы, и типичное разбиение таково: Calculus 1 (пределы, производная, введение в интегрирование), Calculus 2 (интегралы и ряды), Calculus 3 (анализ функций многих переменных). Иногда встречается и Calculus 4, куда в зависимости от учебного заведения могут попадать дифференциальные уравнения, векторный анализ, кратные интегралы и так далее. Прим. пер.
308
Эту фразу приписывают самым разным людям – от Марка Твена до Нильса Бора. Прим. пер.
309
Fuller, The Writhing Number. Смотрите также Pohl, DNA and Differential Geometry.
310
Bates and Maxwell, DNA Topology, и Wasserman and Cozzarelli, Biochemical Topology.
311
Ernst and Sumners, Calculus for Rational Tangles.
312
Liu, DNA Topoisomerase Poisons.
313
Kline, Mathematics in Western Culture; C. Hoefer, Causal Determinism, https://plato.stanford.edu/entries/determinism-causal/.
314
Лаплас П.-С. Опыт философии теории вероятностей. Прим. пер.
315
Laplace, Philosophical Essay on Probabilities, 4.
316
Cooke, Mathematics of Sonya Kovalevskaya, и Goriely, Applied Mathematics, 54–57. Ее часто называют другими именами, мне привычнее Соня Ковалевская. В сети ее биографию можно найти на сайтах: Becky Wilson, Sofia Kovalevskaya, Biographies of Women Mathematicians, https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/kova.htm.
317
Ковалевская С. Воспоминания детства. Прим. пер.
318
Чтобы получить загранпаспорт, требовалось разрешение родителей или мужа. Отец, генерал-лейтенант Василий Васильевич Корвин-Круковский, не желал, чтобы дочь продолжала обучение, и такое разрешение давать отказывался. Поэтому Софья вышла замуж за Владимира Ковалевского. Фиктивный брак впоследствии стал реальным, у пары родилась дочь. Прим. пер.
319
Wisdom et al., «Chaotic Rotation».
320
Бутерброды с арахисовым маслом и джемом очень популярны в США. Существует даже неофициальный Национальный день арахисового масла и джема, отмечающийся в стране 2 апреля. Прим. пер.
321
Diacu and Holmes, Celestial Encounters.
322
Gleick, Chaos; Stewart, Does God Play Dice?; и Strogatz, Nonlinear Dynamics.
323
Lighthill, The Recently Recognized Failur».
324
Sussman and Wisdom, Chaotic Evolution.
325
Gleick, Chaos; Stewart, Does God Play Dice?; Strogatz, Nonlinear Dynamics; и Diacu and Holmes, Celestial Encounters.
326
McMurran and Tattersall, Mathematical Collaboration, и L. Jardine, Mary, Queen of Maths, BBC News Magazine, https://www.bbc.com/news/magazine-21713163. Биографию смотрите по адресу: http://www.ams.org/notices/199902/mem-cartwright.
327
Цитируется по: L. Jardine, Mary, Queen of Maths.
328
Строго говоря, когда правительство обратилось за помощью к математикам, Картрайт была незнакома с динамикой, поэтому обратилась за помощью к Литтлвуду, который уже работал в этой области во время Первой мировой войны. Прим. пер.
329
Dyson, Review of Nature’s Numbers.
330
В 1969 году Картрайт получила звание Дамы-Командора Ордена Британской империи. Прим. пер.
331
В те годы было более распространено название ЭВМ – электронно-вычислительная машина. Прим. ред.
332
Ermentrout and Terman, Mathematical Foundations; Rinzel, Discussion; и Edelstein-Keshet, Mathematical Models.
333
Аксон – длинный отросток нервной клетки, по которому идут нервные импульсы. Диаметр аксона составляет несколько микронов, однако у некоторых беспозвоночных они намного толще. В частности, у кальмаров они могут достигать миллиметра и более, почему и используются для физиологических исследований. Прим. пер.
334
Введение в математическое моделирование эпидемий, сердечных ритмов, рака и опухолей мозга смотрите в книге: Edelstein-Keshet, Mathematical Models; Murray, Mathematical Biology 1; и Murray, Mathematical Biology 2.
335
Английское слово computer произведено от глагола compute – вычислять. Прим. пер.
336
Mitchell, Complexity.
337
Предысторию AlphaZero и компьютерных шахмат ищите на сайте https://www.technologyreview.com/s/609736/alpha-zeros-alien-chess-shows-the-power-and-the-peculiarity-of-ai/. Оригинал препринта, описывающий AlphaZero, находится по адресу: https://arxiv.org/abs/1712.01815. Видео анализа партий между AlphaZero и Stockfish смотрите на https://www.youtube.com/watch?v=Ud8F-cNsa-k и https://www.youtube.com/watch?v=6z1o48Sgrck.
338
К этому результату были претензии, поскольку по условиям программа Stockfish была отрезана от дебютного справочника, который считался ее сильной стороной, использовался неудобный для Stockfish контроль времени и компьютерное оборудование у AlphaZero было лучше. Однако потом проводились и другие матчи при самых разных условиях, и везде побеждала AlphaZero (хотя и проигрывала небольшое количество партий). Прим. пер.
339
Zero – ноль, infinity – бесконечность (англ.). Прим. пер.
340
Davies, Whither Mathematics? https://www.ams.org/notices/200511/comm-davies.pdf.
341
Строго говоря, существует два вида наилучших упаковок – гранецентрированная кубическая упаковка и гексагональная плотная упаковка. Но их можно перевести друг в друга путем сдвига слоев. Прим. пер.
342
Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers.
343
Feynman, QED, и Farmelo, The Strangest Man.
344
Peskin and Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, 196–98. Базовые сведения смотрите на сайте http://scienceblogs.com/principles/2011/05/05/the-most-precisely-tested-theo/.
345
О жизни и трудах Дирака смотрите Farmelo, The Strangest Man. Статья 1928 года, которая вводит уравнение Дирака: Dirac, The Quantum Theory.
346
На самом деле Дирак с самого начала полагал, что новая частица должна иметь массу электрона. Но в то время было известно всего две частицы – электрон и протон, и ученый не рискнул постулировать существование новой частицы, а решил опубликовать свою теорию как теорию электронов и протонов. Но математики быстро установили, что разница в массах частиц теоретически невозможна, так что новая частица должна была обязательно иметь массу электрона. Прим. пер.
347
Dirac, Quantised Singularities.
348
Dirac, Quantised Singularities, 71.
349
Собственно говоря, это явление наблюдали многие физики и до Андерсона, но считали неточностями эксперимента. Андерсон же объяснил суть происходящего. Прим. пер.
350
Kevles, Naked to the Bone, 201–27, и Higham et al., The Princeton Companion, 816–23. О позитронах в ПЭТ смотрите Farmelo, The Strangest Man, и Rich, Brief History.
351
Isaacson, Einstein, и Pais, Subtle Is the Lord.
352
Ferreira, Perfect Theory, и Greene, The Elegant Universe.
353
Больше информации о GPS и релятивистском замедлении времени вы найдете в книге Stewart, In Pursuit of the Unknown, и на сайте http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html.
354
Levin, Black Hole Blues – это лиричное повествование о поиске гравитационных волн. Больше информации смотрите на сайтах https://brilliant.org/wiki/gravitational-waves/ и https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2017/press.html. О роли анализа, компьютеров и численных методов в этом открытии смотрите R. A. Eisenstein, Numerical Relativity and the Discovery of Gravitational Waves, https://arxiv.org/pdf/1804.07415.pdf.
355
Бартоломеус де Босс – иезуитский теолог и философ. Прим. пер.
356
Немецкий философ и математик. Прим. пер.
