Бесконечная сила - [22]
Точно так же он описывает сегмент параболы – как «состоящий из всех параллельных линий, нарисованных внутри фигуры»[66]. Привлечение актуальной бесконечности, по его оценке, понижает статус этого рассуждения до эвристического – то есть это средство найти ответ, но не доказать его правильность. В письме Эратосфену он преуменьшает значение метода, говоря, что это не более чем своего рода указание на то, что вывод будет верным[67].
Каким бы ни был статус метода Архимеда, он обладает свойством e pluribus unum. Это латинское выражение, означающее «из многих – единое», используется как девиз на гербе США. Из бесконечного множества отрезков, составляющих параболу, возникает единая область. Думая о ней как о массе, Архимед перемещает ее, отрезок за отрезком, на левое сиденье доски-качалки. Теперь бесконечность отрезков представлена массой, сосредоточенной в одной точке. Единое заменяет многое, представляя его точно и верно.
То же самое справедливо и для уравновешивающего внешнего треугольника на правой стороне доски. Континуум вертикальных линий превращается в одну точку – центр тяжести. Она тоже заменяет целое. Бесконечность схлопывается в единое, e pluribus unum. Только это не поэзия и не политика, а истоки интегрального исчисления. Треугольники и сегменты парабол каким-то таинственным образом в каком-то смысле, который Архимед не смог строго определить, явно эквивалентны бесконечности из вертикальных линий.
Хотя Архимеда, похоже, смущает его заигрывание с бесконечностью, у него хватает смелости в этом признаться. Любой, кто пытается измерить криволинейную форму – найти длину границы или объем, который она заключает, – вынужден сражаться с пределом бесконечных сумм бесконечно малых частей. Осторожные люди могут попытаться обойти эту необходимость с помощью метода исчерпывания. Но на деле от нее никуда не деться. Справляться с криволинейными формами – так или иначе значит справляться с бесконечностью. Архимед открыто об этом говорит. Когда ему нужно, он может нарядить свои доказательства в респектабельные одежды, используя конечные суммы и метод исчерпывания. Но в глубине души он лукавит. Он признает, что мысленно взвешивает фигуры, мечтает о рычагах и центрах тяжести, взвешивая области и твердые тела отрезок за отрезком, по одному бесконечно малому кусочку за раз.
Архимед применил этот метод ко многим другим задачам о криволинейных формах. Например, для поиска центра тяжести полусферы, параболоида и сегментов эллипсоидов и гиперболоидов. Его любимый результат, который касался соотношения объемов и площадей поверхности шара и цилиндра[68], нравился ему настолько, что он завещал высечь его на могильном камне. Представьте себе шар, точно размещенный в цилиндрической коробке (шар, вписанный в цилиндр).
С помощью метода Архимед установил, что объем вписанного в цилиндр шара составляет 2/3 от объема цилиндра, а площадь поверхности этого шара – 2/3 от площади поверхности описанного цилиндра. Обратите внимание, что он не дал формул для объема или площади поверхности сферы, как мы сделали бы сегодня. Он выразил свой результат в виде пропорций. Это классический греческий стиль. Все выражается в пропорции. Область сравнивали с другой областью, а объем – с другим объемом. И когда в пропорциях получились небольшие целые числа, как здесь (3 и 2) или в случае сегмента параболы (4 и 3), это было источником непередаваемого удовольствия. В конце концов, эти же самые соотношения 3:2 и 4:3 имели особое значение для древних греков из-за их роли в пифагорейской теории музыкальной гармонии. Вспомните, что, если защипнуть две струны с соотношением длин 3:2, они звучат гармонично, будучи разделенными через интервал, известный как квинта. Аналогично струны в соотношении 4:3 дают кварту. Такие числовые совпадения между гармонией и геометрией, должно быть, восхищали Архимеда.
Его слова в трактате «О шаре и цилиндре» показывают, насколько ему нравится результат: «Разумеется, эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам»[69]. Не обращайте внимания на нотки гордости, а сосредоточьтесь на его утверждении, что «свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными». Здесь он выражает философию математики, близкую сердцам всех математиков. Мы чувствуем, что открываем математику. Результаты уже существуют и ждут нас. Они всегда были присущи телам. Мы их не изобретаем. В отличие от Боба Дилана или Тони Моррисона, мы не пишем музыку или романы, которых раньше не было, а открываем уже имеющиеся факты, которые присущи изучаемым нами объектам. Хотя у нас есть творческая свобода изобретать сами объекты – создавать такие идеализации, как сферы, круг и цилиндры, как только мы это делаем, они начинают жить собственной жизнью.
Когда я читаю, как Архимед радуется обнаружению соотношений для площади поверхности и объема шара, я испытываю аналогичные ощущения. Или, скорее, понимаю, что он чувствовал то же самое, что и все мои коллеги-математики. Хотя нам говорят, что «прошлое – это чужая страна»[70], она не может быть чужой во всех отношениях. Люди, о которых мы читаем у Гомера и в Библии, очень похожи на нас. То же самое, по-видимому, верно и в отношении древнегреческих математиков, по крайней мере Архимеда, единственного, кто впустил нас в свое сердце.
