Бесконечная сила - [18]
Современным умам может показаться странным, что число π не появляется в формуле Архимеда для площади круга, A = rC / 2 и что он никогда не записывал уравнения типа C = πd для выражения длины окружности через диаметр. Он избегал это делать, поскольку π не было для него числом. Это было просто отношение двух длин, длины окружности и ее диаметра. Это была какая-то величина, а не число.
Сегодня мы не проводим различия между величиной и числом, но в древнегреческой математике оно было важным. По-видимому, оно возникло из-за напряженности между дискретным (представляемым целыми числами) и непрерывным (представляемым формами). Исторические подробности неясны, но, похоже, что где-то между Пифагором и Евдоксом, между VI и IV веками до нашей эры, кто-то доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной[54], то есть отношение этих двух длин нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Говоря современным языком, этот кто-то обнаружил существование иррациональных чисел[55]. Есть подозрение, что это открытие потрясло и разочаровало греков, поскольку противоречило убеждениям пифагорейцев. Если целые числа и их отношения не могут измерить даже такую несложную вещь, как диагональ квадрата, то утверждение «все есть число» оказывалось ложным. Столь обескураживающее разочарование может объяснить, почему поздние греческие математики всегда ставили геометрию выше арифметики. Числам больше нельзя было доверять. Они не годились для фундамента математики.
Древнегреческие математики поняли, что, для того чтобы описывать непрерывные величины и рассуждать о них, им нужно нечто более мощное, чем целые числа. Поэтому они разработали систему, основанную на формах и их отношениях. Она опиралась на измерение геометрических объектов – длины отрезков, площади квадратов, объемы кубов. Все это греки называли величинами. Они считали их отличными от чисел и превосходящими их.
Думаю, именно поэтому у Архимеда не было тесных отношений с числом π. Он не знал, что с ним делать. Это было странное сверхъестественное творение, куда более экзотичное, нежели любое число.
Сегодня мы считаем π числом – действительным числом, для записи которого требуется бесконечное количество знаков после запятой, – причем числом захватывающе интересным. Моих детей оно просто заинтриговало. Они часто смотрели на тарелку, висящую на стене нашей кухни, на которой цифры числа π бежали по ободку, а затем сходились по спирали к центру, уменьшаясь в размерах по мере того, как пропадали в этом водовороте. Для детей очарование заключалось в выглядящей случайно последовательности цифр без каких-либо закономерностей и повторений, продолжающейся вечно – настоящей бесконечностью на тарелке. Первые несколько цифр в бесконечном десятичном представлении числа π таковы:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749…
Мы никогда не узнаем всех цифр числа π. Тем не менее они ожидают своего открытия. На момент написания этой книги лучшие компьютеры мира вычислили 22 триллиона цифр. И все же 22 триллиона – ничто по сравнению с бесконечным количеством цифр, определяющих π. Подумайте, насколько это тревожно с философской точки зрения. Я сказал, что цифры числа π есть, но где именно? В материальном мире их нет. Они существуют в какой-то платоновской реальности вместе с абстрактными понятиями вроде истины и справедливости.
В числе π есть нечто парадоксальное. С одной стороны, оно представляет собой порядок, воплощенный в форме круга, который долгое время считался символом совершенства и вечности. С другой же стороны, π – непокорное, внешне неопрятное число, его цифры не подчиняются никаким явным правилам, по крайней мере тем, которые мы можем воспринимать[56]. Число π неуловимо и загадочно, навеки недостижимо. Столь завораживающим его делает сочетание в нем порядка и беспорядка.
По большому счету π – это дитя анализа. Оно определяется как недостижимый предел нескончаемого процесса. Но, в отличие от последовательности многоугольников, неуклонно приближающихся к окружности, или незадачливого пешехода, проходящего половины половин пути к стене, у π нет предела, который мы можем узнать. И тем не менее π существует. Вот оно, четко определенное как отношение двух длин, лежащих перед нами: длины окружности и ее диаметра. Это отношение определяет π, причем максимально ясно, хотя само число ускользает сквозь наши пальцы.
Со своими началами инь и ян число π напоминает весь анализ в миниатюре. Это портал между круглым и прямолинейным, бесконечно сложное число, баланс между порядком и хаосом. В свою очередь, анализ использует бесконечное для изучения конечного, неограниченное для изучения ограниченного, прямое для изучения кривого. Принцип бесконечности – ключ к разгадке тайны кривых, и впервые он возник здесь, в загадке π.
Архимед углубился в загадку кривых, снова руководствуясь принципом бесконечности, в своем труде под названием «Квадратура параболы»[57]. Парабола – это кривая, которую описывает мяч при броске или струйка воды из фонтана. На самом деле эти дуги в реальном мире можно считать параболами только приближенно. Согласно Архимеду, настоящая парабола получается при сечении конуса плоскостью
В книге Стива Строгаца представлен увлекательный обзор того, как происходит спонтанное упорядочение ритмов в природе. Автор затрагивает широкий спектр научных и математических вопросов, но основное внимание уделяет феномену синхронизации, который наблюдается в свечении светлячков, ритмичном биении сердец, движении планет и астероидов. Используя для иллюстрации своих глубоких идей интересные метафоры и жизненные ситуации, Строгац создал настоящий шедевр, который погружает читателя в восхитительный мир научных открытий.Книга будет полезна всем, кто интересуется естественными науками и хочет лучше разобраться в устройстве окружающего мира.На русском языке публикуется впервые.
Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. (Steven Strogatz. The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity) — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2014.Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью.
Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.
Как вы думаете, эмоции даны нам от рождения и они не что иное, как реакция на внешний раздражитель? Лиза Барретт, опираясь на современные нейробиологические исследования, открытия социальной психологии, философии и результаты сотен экспериментов, выяснила, что эмоции не запускаются – их создает сам человек. Они не универсальны, как принято думать, а различны для разных культур. Они рождаются как комбинация физических свойств тела, гибкого мозга, среды, в которой находится человек, а также его культуры и воспитания. Эта книга совершает революцию в понимании эмоций, разума и мозга.
Один из лучших популяризаторов науки Фрэнк Вильчек в доступной форме описывает основные составляющие физической реальности — пространство, время, материю, энергию и динамическую сложность. Вы узнаете о теории Большого взрыва и возникновении Вселенной, познакомитесь с одними из крупнейших проектов современности: охотой на частицу Хиггса и поиском гравитационных волн, положивших начало новому виду «многоканальной» астрономии. Книга лауреата Нобелевской премии по физике для всех, кто хочет приблизиться к пониманию устройства Вселенной.
Если вы сомневались, что вам может пригодиться математика, эта книга развеет ваши сомнения. Красота приведенных здесь 10 уравнений в том, что пронизывают все сферы жизни, будь то грамотные ставки, фильтрование значимой информации, точность прогнозов, степень влияния или эффективность рекламы. Если научиться вычленять из происходящего данные и математические модели, то вы начнете видеть взаимосвязи, словно на рентгене. Более того, вы сможете управлять процессами, которые другим кажутся хаотичными. В этом и есть смысл прикладной математики. На русском языке публикуется впервые.
Если упражнения полезны, почему большинство их избегает? Если мы рождены бегать и ходить, почему мы стараемся как можно меньше двигаться? Действительно ли сидячий образ жизни — это новое курение? Убивает ли бег колени и что полезнее — кардио- или силовые тренировки? Дэниел Либерман, профессор эволюционной биологии из Гарварда и один из самых известных исследователей эволюции физической активности человека, рассказывает, как мы эволюционировали, бегая, гуляя, копая и делая другие — нередко вынужденные — «упражнения», а не занимаясь настоящими тренировками ради здоровья. Это увлекательная книга, после прочтения которой вы не только по-другому посмотрите на упражнения (а также на сон, бег, силовые тренировки, игры, драки, прогулки и даже танцы), но и поймете, что для борьбы с ожирением и диабетом недостаточно просто заниматься спортом.